Polinomio irredutíbel

En matemáticas, un polinomio irredutíbel é, grosso modo, un polinomio que non se pode factorizar no produto de dous polinomios non constantes. A propiedade de irredutibilidade depende da natureza dos coeficientes que se aceptan para os posíbeis factores, é dicir, do anel ao que se supón que pertencen os coeficientes do polinomio e os seus posíbeis factores. Por exemplo, o polinomio $x 2 - 2$ é un polinomio con coeficientes enteiros, pero, como todo número enteiro tamén é un número real, tamén é un polinomio con coeficientes reais. É irredutíbel se se considera como un polinomio con coeficientes enteiros, pero factora como $\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)$ se se considera como un polinomio con coeficientes reais. Dicimos que o polinomio $x 2 - 2$ é irredutíbel sobre os enteiros pero non sobre os reais.

Un polinomio que é irredutíbel sobre calquera corpo que conteña os coeficientes é absolutamente irredutíbel. Segundo o teorema fundamental da álxebra, un polinomio univariado é absolutamente irredutíbel se e só se o seu grao é un. Por outra banda, con varios indeterminados (variábeis), hai polinomios absolutamente irredutíbeis de calquera grao, como $x^{2}+y^{n}-1,$ para calquera número enteiro positivo $n$ .

Os polinomios irredutíbeis aparecen naturalmente no estudo da factorización polinómica e as extensións de corpos alxébricos.

É útil comparar os polinomios irredutíbeis con números primos: os números primos (xunto cos correspondentes números negativos de igual magnitude) son os enteiros irredutíbeis. Presentan moitas das propiedades xerais do concepto de "irredutibilidade" que se aplican igualmente aos polinomios irredutíbeis, como a factorización esencialmente única en factores primos ou irredutíbeis . Cando o anel dos coeficientes é un corpo ou outro dominio de factorización única, un polinomio irredutíbel tamén se denomina polinomio primo, porque xera un ideal primo.

Definición

Se F é un corpo, un polinomio non constante é irredutíbel sobre F se os seus coeficientes pertencen a F e non se pode factorizar no produto de dous polinomios non constantes con coeficientes en F.

Un polinomio con coeficientes enteiros, ou, de xeito máis xeral, con coeficientes nun dominio de factorización única R, ás veces dise que é irredutíbel (ou irredutíbel sobre R ) se é un elemento irredutíbel do anel polinómico, é dicir, non é invertíbel, non cero, e non se pode factorizar no produto de dous polinomios non invertíbeis con coeficientes en R. Esta definición xeneraliza a definición dada para o caso dos coeficientes nun corpo, porque, sobre un corpo, os polinomios non constantes son exactamente os polinomios que son non invertíbeis e distintos de cero.

Exemplos sinxelos

Os seguintes seis polinomios demostran algunhas propiedades elementais dos polinomios reducibles e irredutíbeis:

{\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}

Sobre os enteiros, os tres primeiros polinomios pódense factorizar (o terceiro pódese factorizar porque o factor 3 non é invertíbel nos enteiros); os dous últimos son irredutíbeis. (O cuarto, por suposto, non é un polinomio sobre os enteiros).

Sobre os números racionais, os dous primeiros e o cuarto polinomios pódense factorizar, mais os outros tres polinomios son irredutíbeis (como polinomio sobre os racionais, 3 é unha unidade (elemento que se pode inverter) e, polo tanto, non conta como factor).

Sobre os números reais, os cinco primeiros polinomios pódense factorizar, mais $p_{6}(x)$ é irredutíbel.

Sobre os números complexos, os seis polinomios son reducíbeis.

Sobre os números complexos

Sobre o corpo complexo, e, de xeito máis xeral, sobre un corpo pechado alxebricamente, un polinomio univariado é irredutíbel se e só se o seu grao é un. Este feito coñécese como o teorema fundamental da álxebra no caso dos números complexos e, en xeral, como a condición de ser pechado alxebricamente.

Hai polinomios multivariables irredutíbeis de todos os graos sobre os números complexos. Por exemplo, o polinomio

x^{n}+y^{n}-1,

que define unha curva de Fermat, é irredutíbel para todo n positivo.

Sobre os reais

No corpo dos reais, o grao dun polinomio univariábel irredutíbel é un ou dous. Máis precisamente, os polinomios irredutíbeis son os polinomios de grao un e os polinomios cadráticos $ax^{2}+bx+c$ que teñen un discriminante negativo $b^{2}-4ac.$ Dedúcese que todo polinomio univariado non constante pode factorizarse como un produto de polinomios de grao como máximo dous. Por exemplo, $x^{4}+1$ factoriza sobre os números reais como $\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),$ e non se pode factorizar máis, xa que ambos os factores teñen un discriminante negativo: $\left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.$

Propiedade de factorización única

Todo polinomio sobre un corpo $F$ pódese factorizar nun produto dunha constante distinta de cero e un número finito de polinomios irredutíbeis (sobre $F$ ). Esta descomposición é única ata a orde dos factores e a multiplicación dos factores por constantes distintas de cero cuxo produto é 1.

Sobre un dominio de factorización única o mesmo teorema é certo, pero formulouse con máis precisión usando a noción de polinomio primitivo. Un polinomio primitivo é un polinomio sobre un dominio de factorización única, de xeito que o 1 é un máximo común divisor dos seus coeficientes.

Sobre os enteiros e corpos finitos

A irredutibilidade dun polinomio sobre os enteiros $\mathbb {Z}$ está relacionado coa irredutibilidade no corpo $\mathbb {F} _{p}$ de $p$ elementos (para un primo $p$ ). En particular, se un polinomio univariado $f$ sobre $\mathbb {Z}$ é irredutíbel sobre $\mathbb {F} _{p}$ para algún primo $p$ que non divide o coeficiente principal de $f$ (o coeficiente da potencia máis alta da variábel), entón $f$ é irredutíbel sobre $\mathbb {Z}$ (é dicir, non é o produto de dous polinomios non constantes con coeficientes enteiros). O criterio de Eisenstein é unha variante desta propiedade onde a irredutibilidade sobre $p^{2}$ tamén está implicada.

O contrario, porén, non é certo: hai polinomios de grao arbitrariamente grande que son irredutibles sobre os enteiros e poden factorizarse sobre todos os corpos finitos.^[1] Un exemplo sinxelo de tal polinomio é $x^{4}+1.$

O número de polinomios mónicos irredutíbeis de grao $n$ nun corpo $\mathbb {F} _{q}$ para $q$ unha potencia prima vén dado pola función de conta de colares de Moreau:^[2]^[3]

M(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},

onde $μ$ é a función de Möbius. Para $q = 2$ , estes polinomios úsanse habitualmente para xerar secuencias binarias pseudoaleatorias.

Algoritmos

A propiedade de factorización única dos polinomios non significa que sempre se poida calcular a factorización dun polinomio dado. Mesmo a irredutibilidade dun polinomio pode non ser sempre demostrada mediante un cálculo: hai corpos sobre os que non pode existir ningún algoritmo para decidir a irredutibilidade de polinomios arbitrarios.

Os algoritmos para factorizar polinomios e decidir a irredutibilidade son coñecidos e implementados en sistemas alxébricos computacionais para polinomios sobre os números enteiros, os números racionais, os corpos finitos e a extensión de corpos xerados finitamente destes corpos. Todos estes algoritmos usan os algoritmos de factorización de polinomios sobre corpos finitos.

Extensión de corpo

As nocións de polinomio irredutíbel e de extensión de corpo alxébrico están fortemente relacionadas, do seguinte xeito.

Sexa x un elemento dunha extensión L dun corpo K. Este elemento dise que é alxébrico se é unha raíz dun polinomio distinto de cero con coeficientes en K. Entre os polinomios dos que x é unha raíz, hai exactamente un que é mónico e de grao mínimo, chamado polinomio mínimo de x. O polinomio mínimo dun elemento alxébrico x de L é irredutíbel, e é o único polinomio irredutíbel mónico do cal x é unha raíz. O polinomio mínimo de x divide cada polinomio que teña x como raíz (este é o teorema de irredutibilidade de Abel).

Pola contra, se $P(X)\in K[X]$ é un polinomio univariado sobre un corpo K, sexa $L=K[X]/P(X)$ o anel cociente do anel polinómico $K[X]$ polo ideal xerado por $P$ . Entón $L$ é un corpo se e só se $P$ é irredutíbel sobre $K$ . Neste caso, se $x$ é a imaxe de $X$ en $L$ , o polinomio mínimo de $x$ é o cociente de $P$ polo seu coeficiente prinicipal.

Un exemplo do anterior é a definición estándar dos números complexos como $\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).$

Se un polinomio $P$ ten un factor irredutíbel $Q$ sobre $K$ , que ten un grao maior que 1, pódese aplicar a $Q$ a construción anterior dunha extensión alxébrica, para obter unha extensión na que $P$ teña polo menos unha raíz máis que en $K$ . Iterando esta construción, obtén finalmente un corpo sobre o cal $P$ factoriza en factores linearess. Este corpo, único ata un isomorfismo de corpos, chámase corpo de descomposición de $P$ .

Sobre un dominio de integridade

Se R é un dominio de integridade, un elemento f de R que non é nin cero nin unidade denomínase irredutíbel se non hai unidades g e h con f = gh. Pódese demostrar que todo elemento primo é irredutíbel; a inversa non é verdade en xeral, pero cúmprese en dominios de factorización única. O anel polinómico F [x] sobre un corpo F (ou calquera dominio de factorización única) é de novo un dominio de factorización única. Indutivamente, isto significa que o anel polinómico en n indeterminados (sobre un anel R ) é un dominio de factorización única se o mesmo tamén é verdadeiro para R.

Notas

↑ David Dummit; Richard Foote (2004). "ch. 9, Proposition 12". Abstract Algebra. Wiley. p. 309. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Jacobson, Nathan (1985). "4.13 Finite Fields". Basic Algebra I (PDF). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.
↑ Chebolu, Sunil; Mináč, Ján (2011). "Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle" (PDF). Mathematics Magazine 84 (5): 369–371. doi:10.4169/math.mag.84.5.369. Consultado o 2023-04-03.

Bibliografía

Gallian, Joseph (2012). Contemporary Abstract Algebra (8th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1285402734.
Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite fields (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39231-0. , pp. 91.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (3rd ed.). American Mathematical Society. ISBN 9780821816462.
Menezes, Alfred J.; Van Oorschot, Paul C.; Vanstone, Scott A. (1997). Handbook of applied cryptography. CRC Press. ISBN 978-0-8493-8523-0. , pp. 154.

Outros artigos

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. "Irreducible Polynomial". MathWorld.
irreducible polynomial at PlanetMath.
Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.

[1] David Dummit; Richard Foote (2004). "ch. 9, Proposition 12". Abstract Algebra. Wiley. p. 309. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Jacobson, Nathan (1985). "4.13 Finite Fields". Basic Algebra I (PDF). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.

[3] Chebolu, Sunil; Mináč, Ján (2011). "Counting Irreducible Polynomials over Finite Fields Using the Inclusion-Exclusion Principle" (PDF). Mathematics Magazine 84 (5): 369–371. doi:10.4169/math.mag.84.5.369. Consultado o 2023-04-03.

[1]

[2]

[3]