Elemento irredutíbel

En álxebra, un elemento irredutíbel dun dominio de integridade é un elemento distinto de cero que non é invertíbel (é dicir, non é unha unidade) e non é o produto de dous elementos non invertíbeis.

Os elementos irredutíbeis son os elementos terminais dun proceso de factorización; é dicir, son os factores que non se poden factorizar máis.

Se os factores irredutíbeis de cada elemento non unidade distinto de cero están definidos de forma única, ata a multiplicación por unha unidade, entón o dominio de integridade chámase dominio de factorización única. No século XIX descubriuse que os aneis de números enteiros dalgúns corpos numéricos non son dominios de factorización única e, polo tanto, que algúns elementos irredutíbeis poden aparecer nalgunha factorización dun elemento e non noutras factorizacións do mesmo elemento. O descoñecemento deste feito é o principal erro en moitas das probas erróneas do Último Teorema de Fermat que se deron durante os tres séculos entre o enunciado de Fermat e a demostración de Wiles do Último Teorema de Fermat.

Se $R$ é un dominio de integridade, entón $a$ é un elemento irredutíbel de $R$ se e só se, para todos os $b,c\in R$, a ecuación $a=bc$ implica que o ideal xerado por $a$ é igual ao ideal xerado por $b$ ou igual ao ideal xerado por $c$. Esta equivalencia non se cumpre para aneis conmutativos en xeral, polo que a suposición de que o anel non ten divisores de cero distintos de cero adoita facerse na definición de elementos irredutíbeis. Resulta tamén que hai varias formas de estender a definición dun elemento irredutíbel a un anel conmutativo arbitrario.

Relación cos elementos primos

Os elementos irredutíbeis non deben confundirse cos elementos primos. (Un elemento non unidade distinto de cero $a$ nun anel conmutativo $R$ chámase primo se, sempre que $a\mid bc$ para algúns $b$ e $c$ en $R,$ entón $a\mid b$ ou $a\mid c.$ ) Nun dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero o recíproco non é certo en xeral. O contrario é certo para dominios de factorización única (ou, de xeito máis xeral, dominios GCD).

Aínda máis, aínda que un ideal xerado por un elemento primo é un ideal primo, non é certo en xeral que un ideal xerado por un elemento irredutíbel sexa un ideal irredutíbel. Porén, se $D$ é un dominio GCD e $x$ é un elemento irredutíbel de $D$, entón como se indicou anteriormente $x$ é primo, e así o ideal xerado por $x$ é un ideal primo (polo tanto irredutíbel ) de $D$.

Exemplo

No anel de enteiros cadráticos $\mathbf {Z} [{\sqrt {-5}}],$ pódese demostrar mediante argumentos da norma que o número 3 é irredutíbel. No entanto, non é un elemento primo neste anel xa que, por exemplo,

$3\mid \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)=9,$

mais 3 non divide ningún dos dous factores.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número primo.
• Dominio de factorización única.