Dominio de factorización única

En matemáticas, un dominio de factorización única (UFD en inglés) (tamén ás veces chamado anel factorial seguindo a terminoloxía de Bourbaki) é un anel no que se mantén un enunciado análogo ao teorema fundamental da aritmética. Específicamente, un UFD é un dominio de integridade (un anel conmutativo non trivial no que o produto de dous elementos distintos de cero é distinto de cero) no que cada elemento non unitario distinto de cero pode escribirse como produto de elementos irredutíbeis, de forma única ata orde e unidades.

Exemplos importantes de UFD son os enteiros e os aneis polinómicos nunha ou máis variábeis con coeficientes procedentes dos números enteiros ou dun corpo.

Os dominios de factorización únicos aparecen na seguinte cadea de inclusións de clases:

rngs ⊃ aneis ⊃ aneis conmutativos ⊃ dominios de integridade ⊃ dominios de integridade pechados ⊃ dominios GCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideais principais ⊃ dominios euclidianos ⊃ corpos ⊃ corpos alxebricamente pechados

Definición

Formalmente, un dominio de factorización única defínese como un dominio de integridade R no que todo elemento x de R distinto de cero que non sexa unha unidade pode escribirse como un produto finito de elementos irredutíbeis p_i de R:

x = p₁ p₂ ⋅⋅⋅ p_n con n ≥ 1

e esta representación é única no seguinte sentido: Se q₁, ... , q_m son elementos irredutíbeis de R tal que

x = q₁ q₂ ⋅⋅⋅ q_m con m ≥ 1 ,

entón m = n, e existe un mapa bixectivo φ : {1, ..., n} → {1, ..., m} tal que p_i está asociado a q_φ(i) para i ∈ {1, ..., n}.

Exemplos

A maioría dos aneis familiares das matemáticas elementais son UFD:

• Todos os dominios de ideais principais, polo tanto, todos os dominios euclidianos, son UFD. En particular, os enteiros (ver tamén Teorema Fundamental da aritmética), os Enteiros gaussianos e os Enteiros de Eisenstein son UFD.
• Se R é un UFD, entón tamén o é R[X], o anel de polinomios con coeficientes en R. A menos que R sexa un corpo, R[X] non é un dominio de ideais principais. Por indución, un anel polinómico en calquera número de variábeis sobre calquera UFD (e en particular sobre un corpo ou sobre os enteiros) é un UFD.
• O anel de serie de potencias formais K[[X₁, ..., X_n]] sobre un corpo K é un UFD. Por outra banda, o anel de series formais de potencias sobre un UFD non precisa ser un UFD, aínda que o UFD sexa local. Por exemplo, se R é a localización de k[x, y, z]/(x² + y³ + z⁷) no ideal primo (x, y, z) entón R é un anel local que é un UFD, pero o anel formal da serie de potencias R[[X]] sobre R non é un UFD.
• O Teorema de Auslander-Buchsbaum afirma que todo anel local regular é un UFD.
• $\mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]$ é UN UFD para todos os enteiros 1 ≤ n ≤ 22, pero non para n = 23.
• Mori demostrou que se a completude dun anel de Zariski como un anel local noetheriano é un UFD, entón o anel é un UFD. O contrario disto non é certo: hai aneis locais de Noether que son UFDs pero cuxas completudes non o son. A cuestión de cando isto ocorre é bastante sutil: por exemplo, para o localización de k[x, y, z]/(x² + y³ + z⁵) no ideal principal (x, y, z), tanto o anel local como a súa completude son UFD, mais no exemplo aparentemente similar da localización de k[x, y, z]/(x² + y³ + z⁷) no ideal principal (x, y, z) o anel local é un UFD mais a súa completude non o é.
• O anel Q[x, y]/(x² + 2y² + 1) é un UFD, pero o anel en complexos Q(i)[x, y]/(x² + 2y² + 1) non o é. Por outra banda, o anel Q[x, y]/(x² + y² − 1) non é un UFD, mais o anel en complexos Q(i)[x, y]/(x² + y² − 1) si que o é.

Non exemplos

• O anel de enteiros cadráticos $\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ de todos os números complexos da forma $a+b{\sqrt {-5}}$, onde a e b son números enteiros, non é un UFD porque o número 6 factoriza tanto en 2×3 como en $\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)$. Estas son factorizacións diferentes, porque as únicas unidades deste anel son 1 e − 1; así, ningún dos números 2, 3, $1+{\sqrt {-5}}$, e $1-{\sqrt {-5}}$ son asociados. Non é difícil demostrar que os catro factores tamén son irredutíbeis, aínda que isto non sexa obvio. Vexa tamén Enteiro alxébrico .
• Para un enteiro positivo libre de cadrados d, o anel de enteiros de $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ non será un UFD a menos que d sexa un número de Heegner.
• O anel das series formais de potencias sobre os números complexos é un UFD, mais o subanel das que converxen en todas partes, é dicir, o anel de funcións enteiras nunha única variábel complexa, non é un UFD, xa que existen funcións enteiras cun número infinito de ceros, e polo tanto unha infinidade de factores irredutíbeis, mentres que unha factorización UFD debe ser finita, por exemplo:

  $\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right).$

Propiedades

Algúns conceptos definidos para números enteiros pódense xeneralizar a UFD:

• Nos UFD, cada elemento irredutíbel é primo. (En calquera dominio de integridade, todo elemento primo é irredutíbel, pero a inversa non sempre se cumpre. Por exemplo, o elemento z ∈ K[x, y, z]/(z² − xy) é irredutíbel, pero non primo).
• Dous elementos calquera dunha UFD teñen un máximo común divisor e un mínimo común múltiplo. Aquí, un máximo común divisor de a e b é un elemento d que divide tanto a como b, e tal que todos os outros divisores comúns de a e b dividen d. Todos os máximos comúns divisores de a e b son asociados.
• Calquera UFD son dominios de integridade pechados. Noutras palabras, se R é un UFD con corpo cociente K, e se un elemento k en K é unha raíz dun polinomio mónico con coeficientes en R, entón k é un elemento de R.
• Sexa S un subconxunto multiplicativamente pechado dun UFD A. Entón a localización S⁻¹A é un UFD.

Condicións equivalentes para que un anel sexa un UFD

Un dominio de integridade de Noether é un UFD se e só se todo ideal primo de altura 1 é principal. A maiores, un dominio de Dedekind é un UFD se e só se o seu grupo de clase de ideais é trivial. Neste caso, é de feito un dominio de ideais principais.

En xeral, para un dominio de integridade A, as seguintes condicións son equivalentes:

1. A é un UFD.
2. Todo ideal primo distinto de cero de A contén un elemento primo.
3. A satisfai a condición de cadea ascendente nos ideais principais (ACCP), e a localización S⁻¹A é un UFD, onde S é un subconxunto multiplicativamente pechado de A xerado por elementos primos (criterio de Nagata).

Véxase tamén

Bibliografía

• Artin, Michael (2011). Algebra. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-241377-0. 
• Bourbaki, N. (1972). Commutative algebra. Paris, Hermann; Reading, Mass., Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 9780201006445. 
• Edwards, Harold M. (1990). Divisor Theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3448-3. 
• Hartley, B.; T.O. Hawkes (1970). Rings, modules and linear algebra. Chapman and Hall. ISBN 0-412-09810-5.  Chap. 4.
• Lang, Serge (1993). Algebra (Third ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55540-0. Zbl 0848.13001.  Chapter II.5
• Sharpe, David (1987). Rings and factorization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33718-6. 
• Samuel, Pierre (1964). Murthy, M. Pavman, ed. Lectures on unique factorization domains. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics 30. Bombay: Tata Institute of Fundamental Research. MR 0214579. 
• Samuel, Pierre (1968). "Unique factorization". The American Mathematical Monthly 75 (9): 945–952. ISSN 0002-9890. JSTOR 2315529. doi:10.2307/2315529. 
• Weintraub, Steven H. (2008). Factorization: Unique and Otherwise. Wellesley, Mass.: A K Peters/CRC Press. ISBN 978-1-56881-241-0. 

Outros artigos

• Factorización
• Dominio de ideais principais
• Ideal primo
• Anel conmutativo

Ligazóns externas

• Unique Factorization Domain (MathWorld)
• UFD is GCD Domain proofWiki