Número transcendente

Un número transcendente, tamén número transcendental, é un tipo de número irracional que non é raíz de ningún polinomio non nulo con coeficientes enteiros.

Neste sentido, número transcendente é antónimo de número alxébrico. A definición non provén dunha simple relación alxébrica, senón que se define como unha propiedade fundamental das matemáticas. Os números transcendentes máis coñecidos son π e e.

En xeral, se temos dous corpos $\scriptstyle (K,+,\cdot )$ e $\scriptstyle (L,+,\cdot )$ de forma que o segundo é extensión do primeiro, diremos que $\scriptstyle \alpha \in L$ é transcendente sobre $\scriptstyle K$ se non existe ningún polinomio $\scriptstyle p\in K[x]$ do que $\scriptstyle \alpha \,$ sexa raíz ($\scriptstyle p(\alpha )=0\,$).

O conxunto de números alxébricos é numerable, mentres que o conxunto de números reais é non numerable; polo tanto, o conxunto de números transcendentes é tamén non numerable. Non obstante, existen moi poucos números transcendentes coñecidos, e demostrar que un número é transcendente pode ser extremadamente difícil. Por exemplo, aínda non se sabe se a constante de Euler-Mascheroni ($\scriptstyle \gamma \,$) o é, sendo

$\textstyle \gamma \,$ = $\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)$, cando $\textstyle n\to +\infty \,\!$.

De feito, nin sequera se sabe se $\scriptstyle \gamma$ é racional ou irracional.

A propiedade de normalidade dun número (a súa secuencia infinita de díxitos distribúese uniformemente) pode contribuír a demostrar se é transcendente ou non.

Números demostrados como transcendentais

Números demostrados como transcendentais:

• π (polo teorema de Lindemann-Weierstrass).
• $e^{a}$ se $a$ é alxébrico e distinto de cero (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular o número e.
• $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ onde $n$ é un enteiro positivo; en particular a constante de Gelfond $e^{\pi }$ (polo teorema de Gelfond–Schneider).
• Combinacións alxébricas de $\pi$ e $e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}$ como $\pi +e^{\pi }$ e $\pi e^{\pi }$ (deducido da súa independencia alxébrica).
• $a^{b}$ onde $a$ é alxébrica pero non 0 nin 1, e $b$ é alxébrica irracional, en particular a constante de Gelfond–Schneider $2^{\sqrt {2}}$ (polo Teorema de Gelfond-Schneider).
• O logaritmo natural $\ln(a)$ se $a$ é alxébrica e non é igual a 0 ou 1, para calquera rama da función logarítmica (polo teorema de Lindemann–Weierstrass).
• $\log _{b}(a)$ se $a$ e $b$ son enteiros positivos non as dúas potencias do mesmo número enteiro, e $a$ non é igual a 1 (polo teorema de Gelfond–Schneider).
• Todos os números da forma $\pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})$ son transcendentais, onde $\beta _{j}$ son alxébricos para todos os $1\leq j\leq n$ e $a_{j}$ son alxébricos distintos de cero para todos os $1\leq j\leq n$ (polo teorema de Baker).

• As funcións trigonométricas $\sin(x),\cos(x),...$ e os seus homólogos hiperbólicos, para calquera número alxébrico distinto de cero $x$, expresado en radiáns (polo teorema de Lindemann–Weierstrass).
• Resultados distintos de cero das funcións trigonométricas inversas $\arcsin(x),\arccos(x),...$ e as súas contrapartes hiperbólicas, para calquera número alxébrico $x$ (polo teorema de Lindemann–Weierstrass).
• $\pi ^{-1}{\arctan(x)}$, para $x$ racional tal que $x\notin \{0,\pm {1}\}$.
• O punto fixo da función coseno (tamén coñecido como número de Dottie $d$), solución real única da ecuación $\cos(x)=x$, onde $x$ está en radiáns (polo teorema de Lindemann–Weierstrass).
• $W(a)$ se $a$ é alxébrica e distinta de cero, para calquera rama da función W de Lambert (polo teorema de Lindemann–Weierstrass), en particular a constante omega Ω.
• $W(r,a)$ se tanto $a$ como a orde $r$ son alxébricas tal que $a\neq 0$, para calquera rama da función W xeneralizada de Lambert
• ${\sqrt {x}}_{s}$, a super-raíz cadrada de calquera número natural é un número enteiro ou transcendental (polo Gelfond–Teorema de Schneider).
• Valores da función gamma dos números racionais que teñen a forma $\Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)$ ou $\Gamma (n/6)$..
• Combinacións alxébricas de $\pi$ e $\Gamma (1/3)$ ou de $\ pi$ e $\Gamma (1/4)$ como a constante lemniscata $\varpi$ (deducido a partir das súas respectivas independencias alxébricas).
• Os valores da función beta $\mathrm {B} (a,b)$ se $a,b$ e $a+b$ son números racionais non enteiros.
• A función de Bessel do primeiro tipo $J_{\nu }(x)$, a súa primeira derivada e o cociente ${\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}$ son transcendentais cando $\nu$ é racional e $x$ é alxébrica e distinta de cero, e todas as raíces distintas de cero de $J_{\nu }(x)$ e $J'_{\nu }(x)$ son transcendentais cando $\nu$ é racional.
• O número ${\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma$, onde $Y_{\alpha }(x)$ e $J_{\alpha }(x)$ son funcións de Bessel e $\gamma$ é o Constante de Euler-Mascheroni.
• Calquera número de Liouville, en particular: a constante de Liouville.
• Números cunha medida de irracionalidade grande, como a constante de Champernowne $C_{10}$ (polo teorema de Roth).
• Números construídos artificialmente para non ser períodicos alxébricos.
• Calquera número non computábel, en particular: a constante de Chaitin.
• Números irracionais construídos que non son simplemente normal en ningunha base.
• Calquera número para o cal os díxitos con respecto a algunha base fixa formen unha palabra de Sturmian.
• A Constante de Prouhet-Thue-Morse.
• A constante de Komornik–Loreti.
• Os valores da serie infinita cunha taxa de converxencia rápida, segundo a definición de Y. Gao e J. Gao, como $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}$.
• Os valores da Fracción continua de Rogers-Ramanujan $R(q)$ onde ${q}\in \mathbb {C}$ é alxébrica e $0<|q|<1$. Os valores da lemniscáta da función theta $\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$ (nas mesmas condicións para ${q}$) tamén son transcendentais

Véxase tamén

Bibliografía

• Adamczewski, Boris; Bugeaud, Yann (2005). "On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions". Acta Mathematica 195 (1): 1–20. Bibcode:2005math.....11677A. arXiv:math/0511677. doi:10.1007/BF02588048. 
• Bourbaki, N. (1994). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 9783540647676 – vía Internet Archive. 
• Davison, J. Les; Shallit, J.O. (1991). "Continued fractions for some alternating series". Monatshefte für Mathematik 111 (2): 119–126. doi:10.1007/BF01332350. 
• Erdős, P.; Dudley, U. (1983). "Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler" (PDF). Mathematics Magazine 56 (5): 292–298. JSTOR 2690369. doi:10.2307/2690369. 
• Gelfond, A. (1960) [1956]. Transcendental and Algebraic Numbers (reprint ed.). Dover. 
• Natarajan, Saradha; Thangadurai, Ravindranathan (2020). Pillars of Transcendental Number Theory. Springer Verlag. ISBN 978-981-15-4154-4. 

Outros artigos

• Aproximación diofantiana.
• Medida da irracionalidade.
• Número e

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Transcendental Number". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Liouville Number". MathWorld. 
• Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant". MathWorld. 
• "Proof that e is transcendental". planetmath.org. 
• "Proof that the Liouville constant is transcendental". deanlmoore.com. Consultado o 2018-11-12.