Medida da irracionalidade

En matemáticas, unha medida da irracionalidade dun número real $x$ é unha medida do "preto" que se pode aproximar mediante racionais.

Se unha función $f(t,\lambda )$ , definida para $t,\lambda >0$ , toma valores reais positivos e é estritamente decrecentes en ambas as variábeis, considere a seguinte desigualdade:

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda )

para un número real dado $x\in \mathbb {R}$ e números racionais ${\frac {p}{q}}$ con $p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}$ . Definimos $R$ como o conxunto de todos os $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}$ para o que só un número finito de ${\frac {p}{q}}$ existen, de forma que se satisfaga a desigualdade. Entón $\lambda (x)=\inf R$ chámase unha medida da irracionalidade de $x$ eb relación a $f.$ Se non hai tal $\lambda$ e o conxunto $R$ está baleiro, $x$ dise que ten unha medida de irracionalidade infinita $\lambda (x)=\infty$ .

En consecuencia, a desigualdade

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda (x)+\varepsilon )

ten como moito só un número finito de solucións ${\frac {p}{q}}$ para tódolos $\varepsilon >0$ .

Expoñente da irracionalidade

O expoñente de irracionalidade ou medida de irracionalidade de Liouville-Roth vén dado pola función $f(q,\mu )=q^{-\mu }$ , unha definición que adapta a definición dos números de Liouville, o expoñente de irracionalidade $\mu (x)$ defínese para números reais $x$ sendo o supremo do conxunto de $\mu$ tal que se satisfán as desigualdades $0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ por un número infinito de pares de enteiros primos $(p,q)$ con $q>0$ .^[1]^[2]^:246

Por calquera valor $n<\mu (x)$ , o conxunto infinito de todos os racionais $p/q$ que satisfán a desigualdade anterior producen boas aproximacións de $x$ . Pola contra, se $n>\mu (x)$ , entón hai como moito infinitamente moitos coprimos $(p,q)$ con $q>0$ que satisfán a desigualdade.

Por exemplo, sempre que unha aproximación racional ${\frac {p}{q}}\approx x$ con $p,q\in \mathbb {N}$ dá $n+1$ cifras decimais exactas, entón

{\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu (x)+\varepsilon }}}

para calquera $\varepsilon >0$ , agás como máximo un número finito de pares "afortunados" $(p,q)$ .

Un número $x\in \mathbb {R}$ con expoñente de irracionalidade $\mu (x)\leq 2$ chámase número diofantiano,^[3] mentres que os números con $\mu (x)=\infty$ chámanse números de Liouville.

Corolarios

Os números racionais teñen un expoñente de irracionalidade 1, mentres que (como consecuencia do teorema da aproximación de Dirichlet) todo número irracional ten un expoñente de irracionalidade polo menos 2.

Por outra banda, unha aplicación do lema de Borel-Cantelli mostra que case todos os números, incluídos todos os números irracionais alxébricos, teñen un expoñente de irracionalidade exactamente igual a 2.^[2] ^:246

Temos $\mu (x)=\mu (rx+s)$ para números reais $x$ e números racionais $r\neq 0$ e $s$ . Se para algúns $x$ temos $\mu (x)\leq \mu$ , entón dedúcese que $\mu (x^{1/2})\leq 2\mu$ .^[4]:368

Para un número real $x$ dado pola súa expansión de fracción continua simple $x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]$ con converxentes $p_{i}/q_{i}$ cúmprese:

\mu (x)=1+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.

Se temos que o $\limsup _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}|}\leq \sigma$ e $\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}x-p_{n}|}=-\tau$ para algúns números reais positivos $\sigma ,\tau$ , entón podemos estabelecer un límite superior para o expoñente de irracionalidade de $x$ con: ^[5]

\mu (x)\leq 1+{\frac {\sigma }{\tau }}

Límites coñecidos

Se $\mu (x)=1,x\$ é racional.
Se $\mu (x)=2,x\$ é alxébrico de grao > 1.
Se $\mu (x)\geq 2,x\$ é trascendental.

Para a maioría dos números transcendentais, non se coñece o valor exacto do seu expoñente de irracionalidade.^[4] A continuación móstrase unha táboa de límites superiores e inferiores coñecidos.


Número $x$	Expoñente da irracionalidade $\mu (x)$		Notas
Número $x$	Límite inferior	Límite superior	Notas
Número racional $p/q$ con $p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}$	1		Todo número racional $p/q$ ten un expoñente de irracionalidade de exactamente 1.
Número alxébrico irracional $\alpha$	2		Polo Teorema de Roth o expoñente de irracionalidade de calquera número alxébrico irracional é exactamente 2. Exemplos inclúen raíces cadradas e o número áureo $\varphi$ .
$e^{2/k},k\in \mathbb {Z} ^{+}$	2		Se os elementos $a_{n}$ da expansión simple da fracción continua dun número irracional $x$ están limitados por encima de $a_{n}<P(n)$ por un polinomio arbitrario $P$ , entón o seu expoñente de irracionalidade é $\mu (x)=2$ . Os exemplos inclúen números nos que as fraccións continuas se comportan de forma previsíbel como $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]$ e $I_{0}(2)/I_{1}(2)=[1;2,3,4,5,6,7,8,9,10,...]$ .
$\tan(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}$	2
$\tanh(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}$	2
$S(b)$ con $b\geq 2$	2		$S(b):=\sum _{k=0}^{\infty }b^{-2^{k}}$ con $b\in \mathbb {Z}$ , ten termos de fracción continua que non superan unha constante fixa.^[6]^[7]
$T(b)$ con $b\geq 2$ ^[8]	2		$T(b):=\sum _{k=0}^{\infty }t_{k}b^{-k}$ onde $t_{k}$ é a secuencia de Thue-Morse e $b\in \mathbb {Z}$ . Ver Constante de Prouhet-Thue-Morse .
$\ln(2)$ ^[9]^[10]	2	3.57455...	Hai outros números da forma $\ln(a/b)$ para os que se coñecen os límites dos seus expoñentes de irracionalidade.^[11]^[12]^[13]
$\ln(3)$ ^[9]^[14]	2	5.11620...
$5\ln(3/2)$ ^[15]	2	3.43506...	Hai moitos outros números da forma ${\sqrt {2k+1}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2k+1}}+1}{{\sqrt {2k+1}}-1}}\right)$ para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade.^[15] Este é o caso de $k=12$ .
$\pi /{\sqrt {3}}$ ^[16]^[17]	2	4.60105...	Hai moitos outros números da forma ${\sqrt {2k-1}}\arctan \left({\frac {\sqrt {2k-1}}{k-1}}\right)$ para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade.^[16] Este é o caso de $k=2$ .
$\pi$ ^[9]^[18]	2	7.10320...	Probouse que se a Serie Flint Hills $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}$ (onde n está en radiáns) converxe daquela o expoñente de irracionalidade de $\pi$ é como moito $5/2$ ^[19]^[20] e que se diverxe o expoñente de irracionalidade é como mínimo $5/2$ .^[21]
$\pi ^{2}$ ^[9]^[22]	2	5.09541...	$\pi ^{2}$ e $\zeta (2)$ son linearmente dependentes sobre $\mathbb {Q}$ .
$\arctan(1/2)$ ^[23]	2	9.27204...	Hai moitos outros números da forma $\arctan(1/k)$ para os que se coñecen límites no seu expoñente de irracionalidade.^[24]^[25]
$\arctan(1/3)$ ^[26]	2	5.94202...
Constante de Apéry $\zeta (3)$ ^[9]	2	5.51389...
$\Gamma (1/4)$ ^[27]	2	10³³⁰
Constante de Cahen $C$ ^[28]	3
Constante de Champernowne $C_{b}$ ien base $b\geq 2$ ^[29]	$b$		Examplos inclúen $C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]$
Números de Liouville $L$	$\infty$		Os números de Liouville son precisamente aqueles números que teñen un expoñente de irracionalidade infinito.^[2]^:248