Número $e$

O número $e$ é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828.

Os seus usos máis frecuentes son como función exponencial ( $e^{x}$ ) e como a súa inversa o logaritmo en base $e$ chamado logaritmo natural ( $\log(x)$ ).

É o único número positivo $a$ tal que o gráfico da función $y = a x$ ten unha pendente de 1 cando $x = 0$ .

Por outra parte se temos a área baixo a curva $y = 1/ x$ entre $x = 1$ e $x = k$ ; daquela o número $e$ sería o valor de $k$ para o cal esta área é igual a 1.

O número $e$ tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler $γ$ ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier.^[1] Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.^[2]^[3]

O número $e$ ten unha grande importancia na matemática,^[4] xunto con 0, 1, $π$ e $i$ . Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler $e iπ + 1 = 0$ e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante $π$ , a constante $e$ é irracional (non pode ser representada como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais).

Con 50 cifras decimais, o valor de $e$ é (secuencia A001113 na OEIS):^[5]

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Definicións

O número $e$ é o límite

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},

unha expresión que xorde no cálculo do xuro composto.

É a suma da serie infinita

e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .

É o número positivo único $a$ tal que a gráfica da función $y = a x$ ten unha pendente de 1 en $x = 0$ .

Temos tamén que

e=\exp(1),

onde $\exp$ é a función exponencial (natural), a función única que é igual á súa propia derivada e satisfai a ecuación $\exp(0)=1.$ . De feito a función exponencial natural escríbese tanto $e^{x}$ como $\exp(x)$ (normalmente nesta segunda forma cando o expoñente é unha expresión grande e non se visualiza ben na parte superior).

O logaritmo de base $b$ pódese definir como a función inversa da función $x\mapsto b^{x}.$ Como $b=b^{1},$ temos que $\log _{b}b=1.$ A ecuación $e=e^{1}$ implica, polo tanto, que $e$ é a base do logaritmo natural. Normalmente escríbese o logaritmo natural (base $e$ ) sen especificar a base $\log(x)$ e tamén é frecuente escribilo e lelo como logaritmo neperiano $\ln(x)$ .

O número $e$ tamén se pode caracterizar en termos dunha integral:

\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.

Para outras caracterizacións, consulte § Representacións.

Historia

As primeiras referencias á constante foron publicadas en 1618 na táboa dun apéndice dun traballo sobre logaritmos de John Napier.

A constante en si foi introducida por Jakob Bernoulli en 1683, para resolver o problema dos xuros composto. Na súa solución, a constante $e$ aparece como un límite dunha sucesión

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},

onde $n$ representa o número de intervalos nun ano nos que se avalía o xuro composto (por exemplo, $n=12$ para un xuro composto mensual).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra $b$ de Gottfried Leibniz nas cartas a Christiaan Huygens en 1690 e 1691.^[6]

A notación coa letra $e$ , de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.^[7]

Euler demostrou que $e$ é a suma da serie infinita

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,

onde $n!$ é o factorial de $n$ .

Propiedades

Cálculo

Móstranse as gráficas das funcións

x \mapsto a x

para

a = 2

(punteada),

a = e

(azul) e

a = 4

(con trazos). Todas pasan polo punto

(0,1)

, pero a liña vermella (que ten pendente

1

) é tanxente só a

e x

nese punto.

A principal motivación para introducir o número $e$ , particularmente no cálculo, é realizar diferenciais e cálculo integral coa función exponencial e o logaritmo.^[8]

Tanto para a derivada como para a integral da función exponencial e da función logaritmo temos expresións sinxelas:

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

{\frac {d}{dx}}\log x={\frac {1}{x}}.

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C.

\int log(x)\,dx=xlog(x)-x+C.

A maiores, a familia de funcións

y(x)=Ke^{x}

onde $K$ é calquera número real ou complexo, é a solución completa da ecuación diferencial

y'=y.

Desigualdades

En primeiro lugar podemos ver que

\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}

para todos os $x$ reais positivos.^[9]

Tamén temos a desigualdade

e^{x}\geq x+1

para todo número real $x$ , dándose a igualdade se e só se $x = 0$ .

Funcións de tipo exponential

O problema de Steiner pide atopar o máximo global para a función

f(x)=x^{\frac {1}{x}}.

Este máximo ocorre precisamente en $x = e$ . (Pódese comprobar que a derivada de $ln f (x)$ é cero só para ese valor de $x$ ).

Do mesmo xeito, $x = 1/ e$ é onde se produce o mínimo global para a función

f(x)=x^{x}.

Teoría de números

O número real $e$ é irracional. Euler demostrou isto mostrando que a súa expansión en fracción continua simple non termina.^[10]

Aínda máis, polo teorema de Lindemann-Weierstrass, $e$ é transcendental, o que significa que non é unha solución de ningunha ecuación polinómica distinta de cero con coeficientes racionais. Foi o primeiro número que se demostrou transcendental sen ter sido construído especificamente para este propósito (comparar co número de Liouville); a proba foi dada por Charles Hermite en 1873.^[11]

O número $e$ é un dos poucos números transcendentais para os que se coñece que o seu expoñente de irracionalidade é $\mu (e)=2$ .^[12]

Un [[ Lista de problemas sen solucionar en matemáticas|problema sen solucionar]] ata agora é a cuestión de se os números $e$ e $π$ son ou non alxébricamente independentes.^[13]^[14]

Números complexos

A función exponencial $e x$ pódese escribir como unha serie de Taylor ou Maclaurin^[15]

e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.

Dado que esta serie é converxente para todo valor complexo de $x$ , úsase habitualmente para ampliar a definición de $e x$ aos números complexos^[16]:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

que se cumpre para todo complexo $x$ .^[16] O caso especial con $x = π$ é a identidade de Euler:

e^{i\pi }+1=0.

A maiores, esa identidade implica que, na rama principal do logaritmo,^[16]

\ln(-1)=i\pi .

E empregando as leis para a exponenciación,

(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx

para calquera número enteiro $n$ , que é a formula de De Moivre.^[17]

As expresións de $cos x$ e $sen x$ en termos da función exponencial pódense deducir da serie de Taylor:^[16]

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.

A expresión

\cos x+i\sin x

ás veces abréviase como $cis(x)$ .^[17]

Resumo

O número $e$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
O logaritmo natural de $e$ é 1.
É a base dos logaritmos neperianos ou naturais ( $\log(x)$ ou $\ln(x)$ ).
É a base da función exponencial ( $\exp(x)$ ou $e^{x}$ ).
A identidade de Euler relaciona ao número $e$ co valor imaxinario, $i$ , π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

e^{i\pi }+1=0

.

$\rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }$ .
É un número real transcendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica.
Como unha serie infinita (serie de Maclaurin): $e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}+...$
$2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4$ ^[18]

Representacións

Áparte das fórmulas vistas anteriormente tamén se pode representar das seguintes formas:

Euler demostrou que o número $e$ represéntase como a fracción continua simple infinita:(secuencia A003417 na OEIS)

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ]

Como produto infinito:^[19]

e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .

Como serie infinita:

e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}

,

e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

Vexamos algunha serie máis:

e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}

e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}

Temos a fórmula de Stirling como aproximación asintótica do factorial

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

o que nos leva a outra definición como límite dunha sucesión^[20]

e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.

Aplicando o teorema do binomio

e_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}{\frac {1}{n^{k}}}

que tende a $e$ segundo $n$ tende a $\infty$ . (O termo $n^{\underline {k}}$ é o $k$ -ésimo factorial descendente de $n$ ).

En trigonometría, vimos anteriormente a relación coas funcións trigonométricas circulares, mais tamén existe unha relación simple coas funcións trigonométricas hiperbólicas,

e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x)

.

Notas

↑ Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 10 de agosto de 2020.
↑ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (en inglés) (illustrated ed.). Sterling Publishing Company. p. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166
↑ O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics (en inglés).
↑ Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight. Penguin (en inglés). p. 155.
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001113 (Decimal expansion of e)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (en inglés). OEIS Foundation.
↑ Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF). ver por exemplo a carta número 6
↑ N. V. Alexándrova: Diccionario histórico [...] de las matemáticas, Hayka impreso en España
↑ Kline, M. (1998). Calculus: An intuitive and physical approach. Dover Publications. p. 337 ff. ISBN 0-486-40453-6.
↑ Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. pp. 44–48.
↑ Sandifer, Ed (Feb 2006). "How Euler Did It: Who proved $e$ is Irrational?" (PDF). MAA Online. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-02-23. Consultado o 2010-06-18.
↑ Gelfond, A. O. (2015) [1960]. Transcendental and Algebraic Numbers. Dover Books on Mathematics. Traducido por Boron, Leo F. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-49526-2. MR 0057921. |page=41}}
↑ Weisstein, Eric W. "Irrationality Measure". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2024-09-14.
↑ Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014). Transcendental Numbers (en inglés). Springer. ISBN 978-1-4939-0831-8. doi:10.1007/978-1-4939-0832-5.
↑ Waldschmidt, Michel (2021). "Schanuel's Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers" (PDF).
↑ Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927-01-02). A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions (4th ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 581. ISBN 978-0-521-06794-2.
↑ ^16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 Dennery, P.; Krzywicki, A. (1995) [1967]. Mathematics for Physicists. Dover. pp. 23–25. ISBN 0-486-69193-4.
↑ ^17,0 ^17,1 Sultan, Alan; Artzt, Alice F. (2010). The Mathematics That Every Secondary School Math Teacher Needs to Know. Routledge. pp. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3.
↑ P.P. Korovkin: Desigualdades, Editorial Mir , Moscú 1974
↑ Steven Finch (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. p. 14. ISBN 978-0-521-81805-6.
↑ Gbur, Greg (2011). Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering. Cambridge University Press. p. 779. ISBN 978-0-521516-10-5.

Véxase tamén

Bibliografía

Maor, Eli, ed. (2009). $e$ : The Story of a Number. Princeton science library. Princeton, N.J: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2.
for another stochastic representation
McCartin, Brian J. (March 2006). " $e$ : The Master of All" (PDF). The Mathematical Intelligencer 28 (2): 10–21. ISSN 0343-6993. doi:10.1007/BF02987150.

Outros artigos

Ligazóns externas

10 000 díxitos do número e Arquivado 5 de agosto de 2004 en Wayback Machine.
Aproximações de $e$ (en inglés) no Wolfram MathWorld
Primeiros usos de símbolos para constantes (en inglés) 13 de xaneiro de 2008
A história de $e$ , por Robin Wilson no Gresham College, 28 de febreiro de 2007 (download disponíbel do áudio e vídeo)

[Weisstein-1] Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 10 de agosto de 2020.

[Pickover-2] Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (en inglés) (illustrated ed.). Sterling Publishing Company. p. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9. Extract of page 166

[OConnor-3] O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics (en inglés).

[4] Sawyer, W. W. (1961). Mathematician's Delight. Penguin (en inglés). p. 155.

[5] Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A001113 (Decimal expansion of e)". On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (en inglés). OEIS Foundation.

[6] Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). "Sämliche Schriften Und Briefe" (PDF). ver por exemplo a carta número 6

[7] N. V. Alexándrova: Diccionario histórico [...] de las matemáticas, Hayka impreso en España

[kline-8] Kline, M. (1998). Calculus: An intuitive and physical approach. Dover Publications. p. 337 ff. ISBN 0-486-40453-6.

[9] Dorrie, Heinrich (1965). 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover. pp. 44–48.

[10] Sandifer, Ed (Feb 2006). "How Euler Did It: Who proved $e$ is Irrational?" (PDF). MAA Online. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-02-23. Consultado o 2010-06-18.

[11] Gelfond, A. O. (2015) [1960]. Transcendental and Algebraic Numbers. Dover Books on Mathematics. Traducido por Boron, Leo F. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-49526-2. MR 0057921. |page=41}}

[12] Weisstein, Eric W. "Irrationality Measure". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2024-09-14.

[13] Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014). Transcendental Numbers (en inglés). Springer. ISBN 978-1-4939-0831-8. doi:10.1007/978-1-4939-0832-5.

[14] Waldschmidt, Michel (2021). "Schanuel's Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers" (PDF).

[15] Whittaker, Edmund Taylor; Watson, George Neville (1927-01-02). A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions (4th ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 581. ISBN 978-0-521-06794-2.

[Dennery-16] 16,0 ^16,1 ^16,2 ^16,3 Dennery, P.; Krzywicki, A. (1995) [1967]. Mathematics for Physicists. Dover. pp. 23–25. ISBN 0-486-69193-4.

[Sultan-17] 17,0 ^17,1 Sultan, Alan; Artzt, Alice F. (2010). The Mathematics That Every Secondary School Math Teacher Needs to Know. Routledge. pp. 326–328. ISBN 978-0-203-85753-3.

[18] P.P. Korovkin: Desigualdades, Editorial Mir , Moscú 1974

[Finch-2003-p14-19] Steven Finch (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. p. 14. ISBN 978-0-521-81805-6.

[greg-20] Gbur, Greg (2011). Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering. Cambridge University Press. p. 779. ISBN 978-0-521516-10-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Número e