Enteiro de Gauss

En teoría de números, un enteiro de Gauss é un número complexo cuxas partes reais e imaxinarias son ambas as dúas enteiras. Os enteiros de Gauss, coa suma e multiplicación ordinarias de números complexos, forman un dominio de integridade, normalmente escrito como $\mathbf {Z} [i]$ ou $\mathbb {Z} [i].$ ^[1]

Os enteiros gaussianos comparten moitas propiedades cos enteiros: forman un dominio euclidiano e, polo tanto, teñen unha división euclidiana e un algoritmo euclidiano; isto implica factorización única e moitas outras propiedades relacionadas. Porén, os enteiros gaussianos non teñen unha ordenación total que respecte a aritmética.

Os enteiros gaussianos son enteiros alxébricos e forman o anel máis sinxelo de enteiros cadráticos.

Os enteiros de Gauss reciben o nome do matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

Definicións básicas

Os enteiros de Gauss son o conxunto^[1]

\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ onde }}i^{2}=-1.

Un enteiro gaussiano é un número complexo de tal xeito que as súas partes real e imaxinaria son ambas as dúas enteiras. Dado que os enteiros gaussianos son pechados baixo a suma e a multiplicación, forman un anel conmutativo, que é un subanel do corpo dos números complexos. É polo tanto un dominio de integridade.

Cando se consideran dentro do plano complexo, os enteiros gaussianos constitúen unha retícula de enteiros de $2$ dimensións.

O conxugado dun enteiro gaussiano $a + bi$ é o enteiro gaussiano $a - bi$ .

A norma dun enteiro de Gauss é o seu produto co seu conxugado.

N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.

A norma dun enteiro de Gaussiano é, polo tanto, o cadrado do seu valor absoluto como número complexo. A norma dun enteiro de Gauss é un enteiro non negativo, que é unha suma de dous cadrados. Así esta norma non pode ser da forma $4 k + 3$ , con $k$ enteiro.

A norma é multiplicativa, é dicir, temos^[2]

N(zw)=N(z)N(w),

para cada par de enteiros de Gauss $z, w$ .

As unidades do anel de enteiros de Gauss (é dicir, os enteiros gaussianos cuxo inverso multiplicativo tamén é un enteiro gaussiano) son precisamente os enteiros de Gauss de norma 1, é dicir, 1, –1, $i$ e $- i$ .^[3]

División euclidiana

Visualización da distancia máxima a algún enteiro de Gauss

Os enteiros de Gauss teñen división euclidiana (división con resto) semellante á dos enteiros e polinomios. Isto fai que os enteiros de Gauss sexan un dominio euclidiano e implica que os enteiros de Gauss comparten con enteiros e polinomios moitas propiedades importantes, como a existencia dun algoritmo euclidiano para calcular os máximos comúns divisores, a identidade de Bézout, a propiedade de ideal principal, o lema de Euclides, o teorema de factorización única, e o teorema chinés do resto. Todos eles poden ser demostrados usando só a división euclidiana.

Un algoritmo de división euclidiana toma, no anel de enteiros gaussianos, un dividendo $a$ e un divisor $b \neq 0$ , e produce un cociente $q$ e un resto $r$ tal que

a=bq+r\quad {\text{and}}\quad N(r)<N(b).

Ideais principais

Dado que o anel $G$ de enteiros gaussianos é un dominio euclidiano, $G$ é un dominio de ideais principais (PID), o que significa que todo ideal de $G$ é principal. Explicitamente, un ideal $I$ é un subconxunto dun anel $R$ tal que toda suma de elementos de $I$ e todo produto dun elemento de $I$ por un elemento de $R$ pertencen a $I$ . Un ideal é principal se está formado por todos os múltiplos dun só elemento $g$ , é dicir, ten a forma

\{gx\mid x\in G\}.

Neste caso, dise que o ideal é xerado por $g$ ou que $g$ é un xerador do ideal.

Primos de Gauss

Como os enteiros de Gauss forman un dominio de ideais principais, tamén forman un dominio de factorización único. Isto implica que un enteiro de Gauss é irredutíbel (é dicir, non é o produto de dúas non unidades) se e só se é primo (é dicir, xera un ideal primo).

Os elementos primos de $Z [i]$ tamén son coñecidos como primos gaussianos. Un asociado dun primo gaussiano tamén é un primo gaussiano. O conxugado dun primo gaussiano tamén é un primo gaussiano (isto implica que os primos gaussianos son simétricos sobre os eixos real e imaxinario).

Un enteiro de Gauss $a + bi$ é primo gaussiano se e só se:

un de $a, b$ é cero e o valor absoluto do outro é un número primo da forma $4 n + 3$ (con $n$ un enteiro non negativo), ou
ambos os dous son distintos de cero e $a 2 + b 2$ é un número primo (que non será da forma $4 n + 3$ ).

Noutras palabras, un enteiro de Gauss $m$ é un primo gaussiano se e só se a súa norma é un número primo, ou $m$ é o produto dunha unidade ( $\pm1, \pm i$ ) e un número primo da forma $4 n + 3$ .

Factorización única

Igual que todos os dominios de factorización única (UFD), cada número enteiro de Gauss pódese factorizar como produto dunha unidade e primos gaussianos, e esta factorización é única ata a orde dos factores e a substitución de calquera primo por calquera dos seus asociados (xunto con un cambio correspondente do factor unidade).

Se un escolle, un único primo gaussiano fixo para cada clase de equivalencia de primos asociados, e tomamos só estes primos seleccionados na factorización, entón obtense unha factorización prima que é única ata a orde dos factores. Coas opcións descritas anteriormente, a factorización única resultante ten a forma

u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},

onde $u$ é unha unidade (é dicir, $u \in {1, -1, i, - i$ }), $e 0$ e $k$ son enteiros non negativos, $e 1, \dots, e k$ son enteiros positivos e $p 1, \dots, p k$ son números primos gaussianos distintos tal que, dependendo da escolla dos asociados seleccionados:

ou $p k = a k + ib k$ cun $a$ impar e positivo, e $b$ par,
ou o resto da división euclidiana de $p k$ por $2 + 2 i$ é igual a 1 (esta é a opción orixinal de Gauss^[4]).

Unha vantaxe da segunda opción é que os asociados seleccionados se comportan ben baixo produtos para enteiros de Gauss de norma impar. Por outra banda, o asociado seleccionado para os números primos de Gauss reais son números enteiros negativos. Por exemplo, a factorización de 231 nos enteiros, e coa primeira opción de asociados é 3 × 7 × 11, mentres que é (–1) × (–3) × (–7) × (–11) coa segunda escolla.

Racionais de Gauss

O corpo dos racionais de Gauss é o corpo das fraccións do anel dos enteiros de Gauss. Consta dos números complexos cuxa parte real e imaxinaria son racionais.

O anel de enteiros gaussianos é o peche integral dos enteiros nos racionais de Gauss.

Isto implica que os enteiros de Gauss son enteiros cadráticos e que un racional de Gauss é un enteiro de Gauss, se e só se é unha solución dunha ecuación

x^{2}+cx+d=0,

con $c$ e $d$ enteiros. De feito $a + bi$ é a solución da ecuación

x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},

e esta ecuación ten coeficientes enteiros se e só se $a$ e $b$ son ambos os dous enteiros.

Máximo común divisor

Como para calquera dominio de factorización única, un máximo común divisor (mcd) de dous enteiros de Gauss $a, b$ é un enteiro de Gauss $d$ que é un divisor común de $a$ e $b$ , que ten todos os divisores comúns de $a$ e $b$ como divisor. É dicir (onde $|$ denota a relación de divisibilidade),

$d | a$ e $d | b$ , e
$c | a$ e $c | b$ implica $c | d$ .

Así, o maior ten significado coa relación de divisibilidade, e non para unha ordenación do anel (para os enteiros, ambos os significados de maior coinciden).

Máis tecnicamente, un máximo común divisor de $a$ e $b$ é un xerador do ideal xerado por $a$ e $b$ (esta caracterización é válida para os os dominios de ideais principais, mais non en xeral, para os dominios de factorización únicos).

O máximo común divisor de dous enteiros gaussianos non é único, senón que se define ata a multiplicación por unha unidade. É dicir, dado un máximo común divisor $d$ de $a$ e $b$ , os máximos comúns divisores de $a$ e $b$ son $d, - d, id$ e $- id$ .

Hai varias formas de calcular un máximo común divisor de dous enteiros de Gauss $a$ e $b$ . Cando se coñecen as factorizacións primas de $a$ e $b$ ,

a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},

onde os primos $p m$ non están asociados por pares e os expoñentes $μ m$ non están asociados, o máximo común divisor é

\prod _{m}{p_{m}}^{\lambda _{m}},

con

\lambda _{m}=\min(\nu _{m},\mu _{m}).

Desafortunadamente, agás en casos sinxelos, a factorización prima é difícil de calcular, e o algoritmo euclidiano conduce a un cálculo moito máis sinxelo (e máis rápido). Este algoritmo consiste en substituír a entrada $(a, b)$ por $(b, r)$ , onde $r$ é o resto da división euclidiana de $a$ por $b$ , e repetir esta operación ata obter un residuo cero, é dicir, un par $(d, 0)$ . Este proceso remata, porque, en cada paso, a norma do segundo enteiro de Gauss diminúe. O $d$ resultante é un máximo común divisor, porque (en cada paso) $b$ e $r = a - bq$ teñen os mesmos divisores que $a$ e $b$ e, polo tanto, o mesmo máximo común divisor.

Por exemplo, se $a = 5 + 3 i$ , e $b = 2 - 8 i$ , un ten $N (a) = 34$ , $N (b) = 68$ e $N (a + b) = 74$ . Como o máximo común divisor das tres normas é 2, o máximo común divisor de $a$ e $b$ ten 1 ou 2 como norma. Como un enteiro de Gauss de norma 2 está necesariamente asociado a $1 + i$ , e como $1 + i$ divide $a$ e $b$ , entón o máximo común divisor é $1 + i$ .

Se $b$ é substituído polo seu conxugado $b = 2 + 8 i$ , entón o máximo común divisor das tres normas é 34, a norma de $a$ , polo que pódese adiviñar que o máximo común divisor é $a$ , é dicir, que $a | b$ . De feito, temos $2 + 8 i = (5 + 3 i)(1 + i)$ .

Congruencias e clases de residuos

Dado un enteiro gaussiano $z 0$ , chamado módulo, dous enteiros de Gauss $z 1, z 2$ son congruentes módulo $z 0$ , se a súa diferenza é múltiplo de $z 0$ , é dicir, se existe un enteiro de Gauss $q$ tal que $z 1 - z 2 = qz 0$ . Noutras palabras, dous enteiros de Gauss son congruentes módulo $z 0$ , se a súa diferenza pertence ao ideal xerado por $z 0$ . Isto denótase como $z 1 \equiv z 2 (mod z 0)$ .

A congruencia módulo $z 0$ é unha relación de equivalencia, que define unha partición dos enteiros de Gauss en clases de equivalencia, chamadas aquí clases de congruencia ou clases de residuos. O conxunto das clases de residuos adoita denotarse $Z [i]/ z 0 Z [i]$ , ou $Z [i]/ ⟨ z 0 ⟩$ , ou simplemente $Z [i]/ z 0$ .

A clase de residuo dun enteiro de Gauss $a$ é o conxunto

{\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}

de todos os enteiros de Gauss que son congruentes con $a$ . Dedúcese que $a = b$ se e só se $a \equiv b (mod z 0)$ .

A suma e a multiplicación son compatibles coas congruencias. Isto significa que $a 1 \equiv b 1 (mod z 0)$ e $a 2 \equiv b 2 (mod z 0)$ implican $a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (mod z 0)$ e $a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (mod z 0)$ . Isto define operacións ben definidas (que son independentes da elección dos representantes) nas clases de residuos:

{\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{e}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.

Con estas operacións, as clases de residuos forman un anel conmutativo, o anel cociente dos enteiros de Gauss polo ideal xerado por $z 0$ , que tamén se denomina tradicionalmente anel de clase de residuos módulo $z 0$ (para máis detalles, consulte Anel cociente).

Exemplos

Hai exactamente dúas clases de residuos módulo $1 + i$ , a saber, $0 = {0, \pm2, \pm4,\dots,\pm1 \pm i, \pm3 \pm i,\dots$ } (todos os múltiplos de $1 + i$ ) e $1 = {\pm1, \pm3, \pm5,\dots, \pm i, \pm2 \pm i,\dots$ }, que forman un padrón de taboleiro de xadrez no plano complexo. Estas dúas clases forman así un anel con dous elementos, que é, de feito, un corpo, o único corpo (ata un isomorfismo) con dous elementos, e que poden identificarse cos números enteiros módulo 2. Estas dúas clases poden ser consideradas como unha xeneralización da partición de enteiros en enteiros pares e impares. Así, pódese falar de enteiros de Gauss pares e impares (Gauss dividiu aínda máis os enteiros de Gauss pares en pares divisíbeis por 2, e medio pares).
Para módulo 2 hai catro clases de residuos, a saber $0, 1, i, 1 + i$ . Estes forman un anel con catro elementos, no que $x = - x$ para todo $x$ . Así, este anel non é isomorfo co anel de enteiros módulo 4, outro anel con catro elementos. Temos $1 + i 2 = 0$ e, polo tanto, este anel non é un corpo finito con catro elementos, nin o produto directo de dúas copias do anel de enteiros módulo 2.
Para o módulo $2 + 2i = (i - 1) 3$ hai oito clases de residuos, é dicir $0, \pm1, \pm i, 1 \pm i, 2$ , das que catro conteñen só enteiros de Gauss pares e catro só enteiros de Gauss impares.

Corpos de clase de residuos

O anel da clase de residuos módulo un enteiro de Gauss $z 0$ é un corpo se e só se $z_{0}$ é un primo gaussiano.

Se $z 0$ é un primo descomposto ou o primo ramificado $1 + i$ (é dicir, se a súa norma $N (z 0)$ é un número primo, que é 2 ou un primo congruente con 1 módulo 4), entón o corpo da clase do residuo ten un número primo de elementos (é dicir, $N (z 0)$ ). Así é isomorfo ao corpo dos enteiros módulo $N (z 0)$ .

Se, pola contra, $z 0$ é un primo inerte (é dicir, $N (z 0) = p 2$ é o cadrado dun número primo, que é congruente con 3 módulo 4), entón o corpo da clase de residuos ten $p 2$ elementos, e é unha extensión de grao 2 (única, ata un isomorfismo) do corpo primo con $p$ elementos (os enteiros módulo $p$ ).

Problemas sen resolver

A distribución dos primos de Gauss pequenos no plano complexo

A maioría dos problemas sen resolver están relacionados coa distribución dos primos gaussianos no plano.

O problema do círculo de Gauss non trata dos enteiros de Gauss per se, senón que pregunta polo número de puntos da retícula dentro dun círculo dun raio dado centrado na orixe. Isto equivale a determinar o número de enteiros de Gauss cunha norma menor que un valor dado.

Tamén hai conxecturas e problemas sen resolver sobre os números primos gaussianos. Dous deles son:

Os eixos real e imaxinario teñen o conxunto infinito de números primos gaussianos 3, 7, 11, 19,... e os seus asociados. Hai outras liñas que teñan infinitos números primos gaussianos? En particular, hai infinitos números primos gaussianos da forma $1 + ki$ ?
É posíbel camiñar ata o infinito usando os números primos de Gauss como pasos e dando pasos dunha lonxitude uniformemente limitada? Isto coñécese como o problema do foxo de Gauss; foi formulada en 1962 por Basil Gordo e segue sen resolver.^[5]^[6]

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Fraleigh (1976)
↑ Fraleigh (1976, p. 289)
↑ Fraleigh (1976)
↑ Gauss (1831)
↑ Gethner, Ellen; Wagon, Stan; Wick, Brian (1998). "A stroll through the Gaussian primes". The American Mathematical Monthly 105 (4): 327–337. JSTOR 2589708. MR 1614871. Zbl 0946.11002. doi:10.2307/2589708.
↑ Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

Véxase tamén

Bibliografía

Gauss, C. F. (1831). Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. Comm. Soc. Reg. Sci. Göttingen 7. pp. 89–148. ; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93–148. A German translation of this paper is available online in ″H. Maser (ed.): Carl Friedrich Gauss’ Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik. Springer, Berlin 1889, pp. 534″.
Fraleigh, John B. (1976). A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. ISBN 0-201-01984-1.
Kleiner, Israel (1998). "From Numbers to Rings: The Early History of Ring Theory". Elem. Math. 53 (1): 18–35. Zbl 0908.16001. doi:10.1007/s000170050029.
Ribenboim, Paulo (1996). The New Book of Prime Number Records (3rd ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-94457-5. Zbl 0856.11001.
Henry G. Baker (1993). "Complex Gaussian Integers for "Gaussian Graphics"". ACM SIGPLAN Notices 28 (11): 22–27. doi:10.1145/165564.165571.

Outros artigos

Ligazóns externas

IMO Compendium text on quadratic extensions and Gaussian Integers in problem solving
Keith Conrad, The Gaussian Integers.

[Fraleigh_1976_286-1] 1,0 ^1,1 Fraleigh (1976)

[2] Fraleigh (1976, p. 289)

[3] Fraleigh (1976)

[4] Gauss (1831)

[5] Gethner, Ellen; Wagon, Stan; Wick, Brian (1998). "A stroll through the Gaussian primes". The American Mathematical Monthly 105 (4): 327–337. JSTOR 2589708. MR 1614871. Zbl 0946.11002. doi:10.2307/2589708.

[6] Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 55–57. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]