Ideal principal

ideal xerado só por un elemento

En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un ideal principal é un ideal nun anel que é xerado por un só elemento de mediante a multiplicación por cada elemento de O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset xerado por un único elemento é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a en

O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis.

Definicións

editar
  • un ideal principal pola esquerda   é un subconxunto de   dado por   para algún elemento  
  • un ideal principal pola dereita de   é un subconxunto de   dado por   para algún elemento  
  • un ideal principal bilateral   é un subconxunto de   dado por   para algún elemento   é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma  

Se   é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por   como   ou  

Exemplos de ideal non principal

editar

Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo   de todos os polinomios en dúas variabeis   e   con coeficientes complexos. O ideal   xerado por   e   que consta de todos os polinomios en   que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que   foron un xerador de   Entón   e   ambos os dous serían divisíbeis por   que é imposíbel a non ser que   sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en   así que temos unha contradición.

No anel   os números onde   son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere   e   Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren   e   as únicas unidades do anel, non son asociados.

Definicións relacionadas

editar

Un anel no que cada ideal é principal chámase principal, ou un anel ideal principal. Un dominio de ideais principais (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización única; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID.

Exemplos de ideal principal

editar

Os ideais principais en   son da forma   De feito,   é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos   onde   e considere os homomorfismos sobrexectivos   Posto que  é finito, para   suficientemente grande temos   Así   o que implica que   sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal   xerado por calquera número enteiro   e   é exactamente   por indución sobre o número de xeradores dedúcese que   é principal.

No entanto, todos os aneis teñen ideais principais, calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal   é un ideal principal de   e   é un ideal principal de   De feito,   e   son os ideais principais de calquera anel  

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar