Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:
Distribución .
Distribución χ² (khi cadrado)
Función de densidade
Función de distribución
Parámetros
k
>
0
{\displaystyle k>0\,}
Soporte
x
∈
[
0
;
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}
Función de densidade
(
1
/
2
)
k
/
2
Γ
(
k
/
2
)
x
k
/
2
−
1
e
−
x
/
2
{\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,}
Función de distribución
Γ
(
k
/
2
,
x
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}
Media
k
{\displaystyle k\,}
Mediana aproximadamente
k
−
2
/
3
{\displaystyle k-2/3\,}
Moda
k
−
2
{\displaystyle k-2\,}
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2\,}
Varianza
2
k
{\displaystyle 2\,k\,}
Asimetría
8
/
k
{\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}
Curtose
12
/
k
{\displaystyle 12/k\,}
Entropía
k
2
+
ln
(
2
Γ
(
k
/
2
)
)
+
(
1
−
k
/
2
)
ψ
(
k
/
2
)
{\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}
F. xeradora de momentos
(
1
−
2
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}
2
t
<
1
{\displaystyle 2\,t<1\,}
Func. caract.
(
1
−
2
i
t
)
−
k
/
2
{\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,}
A distribución khi cadrado (χ ²distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro
k
{\displaystyle k}
graos de liberdade da variable aleatoria :
X
=
Z
1
2
+
⋯
+
Z
k
2
{\displaystyle X=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}}
Onde
Z
i
{\displaystyle Z_{i}}
normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria
X
{\displaystyle X}
X
∼
χ
k
2
{\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}
A súa función de densidade é:
f
(
x
;
k
)
=
{
1
2
k
/
2
Γ
(
k
/
2
)
x
(
k
/
2
)
−
1
e
−
x
/
2
para
x
>
0
,
0
para
x
≤
0
{\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}}
onde
Γ
{\displaystyle \Gamma }
función gamma .
A función densidade de
X
1
=
Z
2
{\displaystyle X_{1}=Z^{2}}
P
(
x
,
x
+
d
x
)
=
f
(
x
1
)
d
x
1
=
1
2
π
e
−
z
2
/
2
d
z
{\displaystyle P(x,x+dx)=f(x_{1})dx_{1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz}
Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z
f
(
x
1
)
=
1
2
π
e
−
x
1
/
2
x
1
−
1
2
{\displaystyle f(x_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{1}/2}x_{1}^{-{\frac {1}{2}}}}
A función distribución de
X
=
X
1
+
X
2
+
.
.
.
+
X
n
{\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}}
convolución
f
(
x
;
k
)
=
f
(
x
1
)
∗
f
(
x
2
)
∗
.
.
.
∗
f
(
x
k
)
{\displaystyle f(x;k)=f(x_{1})*f(x_{2})*...*f(x_{k})}
Aplicando a transformada de Laplace
L
{
f
(
x
;
k
)
}
=
(
L
{
f
(
x
1
)
}
)
k
=
1
(
2
(
s
+
1
2
)
)
k
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(x;k)\right\}=({\mathcal {L}}\left\{f(x_{1})\right\})^{k}={\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}}
Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)
f
(
x
;
k
)
=
L
−
1
{
1
(
2
(
s
+
1
2
)
)
k
2
}
=
1
2
k
/
2
Γ
(
k
/
2
)
x
(
k
/
2
)
−
1
e
−
x
/
2
{\displaystyle f(x;k)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}\right\}={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}}
editar
A súa función de distribución é
F
k
(
x
)
=
γ
(
k
/
2
,
x
/
2
)
Γ
(
k
/
2
)
{\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
onde
γ
(
k
,
z
)
{\displaystyle \ \gamma (k,z)}
función gamma incompleta .
O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k .
editar
A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma . De feito,
X
∼
Γ
(
k
2
,
θ
=
2
)
.
{\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},\theta =2\right).}
k
=
2
{\displaystyle k=2}
distribución exponencial de media
k
=
2
{\displaystyle k=2}
Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite , pode aproximarse por unha distribución normal :
lim
k
→
∞
χ
k
2
(
x
)
k
=
N
(
1
,
2
/
k
)
(
x
)
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)}
A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística . A máis coñecida é a denominada proba χ² , empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear , a través do seu papel na distribución t de Student .
Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².
