Transformada de Laplace

En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/Física

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

$F_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

Propiedades

Linearidade

${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

Derivada

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$

${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$

Integral

${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}$

Composición

${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$ Amortización

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)$

${\mathcal {L}}\left\{f(ta)\right\}=e^{as}F(s)$ Atraso

${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{as}F(s)$

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$

Nota: $u(t)$ é a función de etapa de Heaviside.

Valor Final

$\lim _{t\to \infty }f(t)=\lim _{s\to 0}sF(s)$

Convolución

${\mathcal {L}}\{f\otimes g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}$

Transformada de Laplace dunha función de período p

${\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt$

Algunhas transformadas usuais

Potencia n

${\mathcal {L}}\{\,t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}$

Exponencial

${\mathcal {L}}\{\,e^{-at}\}={\frac {1}{s+a}}$

Seno

${\mathcal {L}}\{\,\sin(bt)\}={\frac {b}{s^{2}+b^{2}}}$

Coseno

${\mathcal {L}}\{\,\cos(bt)\}={\frac {s}{s^{2}+b^{2}}}$

Seno hiperbólico

${\mathcal {L}}\{\,\sinh(bt)\}={\frac {b}{s^{2}-b^{2}}}$

Coseno hiperbólico

${\mathcal {L}}\{\,\cosh(bt)\}={\frac {s}{s^{2}-b^{2}}}$

Demostracción

${\mathcal {L}}\{\,\cosh(bt)\}={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}\{\,e^{bt}+e^{-bt}\}={\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}\{\,e^{bt}\}+{\mathcal {L}}\{\,e^{-bt}\})={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{s-b}}+{\frac {1}{s+b}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {s+b+s-b}{s^{2}-b^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {2s}{s^{2}-b^{2}}}\right)={\frac {s}{s^{2}-b^{2}}}$

Logaritmo natural

${\mathcal {L}}\{\,\ln(t)\}=-{\frac {\ln(s)+\gamma }{s}}$

Raíz n

${\mathcal {L}}\{\,{\sqrt[{n}]{t}}\}=s^{-{\frac {n+1}{n}}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

Función de Besel do primeiro tipo

${\mathcal {L}}\{\,X_{n}(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {1+s^{2}}}}$

Función de Besel modificada do primeiro tipo

${\mathcal {L}}\{\,I_{n}(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {-1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {-1+s^{2}}}}$

Función erro

${\mathcal {L}}\{\,\operatorname {erf} (t)\}={e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}$

Outras transformadas comúns

Transformada de Laplace	Función no dominio Tempo	$1$	$\delta (t)$, impulso unitario
${\frac {1}{s}}$	$u(t)$, paso unitario
${\frac {n!}{(s+a)^{n+1}}}$	${e^{-at}t^{n}}$
${\frac {1}{(s+a)^{n}}}$	${\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-at}$
${\frac {1}{s(s+a)}}$	$1-e^{-at}$
${\frac {1}{(s+a)(s+b)}}$	${\frac {1}{ba}}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$
${\frac {s+c}{(s+a)^{2}+b^{2}}}$	$e^{-at}\left(\cos {(bt)}+\left({\frac {ca}{b}}\right)\sin {(bt)}\right)$
${\frac {\sin \varphi s+a\cos \varphi }{s^{2}+a^{2}}}$	$\sin {(at+\varphi )}$