Teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas

O teorema de Dirichlet sobre progresións aritméticas é un resultado da teoría analítica de números demostrada polo matemático Johann Dirichlet.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Este teorema sobre a distribución de números primos en $\mathbb {N}$, foi conxecturado por Gauss e finalmente demostrado en 1837 por Dirichlet, nome co que se coñece actualmente.

Os números da forma a + nd forman unha progresión aritmética

$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \ldots ,\$

e o teorema de Dirichlet afirma que esta secuencia contén infinitos números primos.

O primeiro teorema de converxencia da serie de Fourier, debido a Dirichlet, apareceu en 1829 e refírese a funcións monótonas por intervalos. Comezamos con algúns comentarios sobre estas funcións. Unha función monótona e limitada nun intervalo [a, b] é integrábel e ten límites laterais finitos en cada punto. Se estes límites non coinciden a función terá unha descontinuidade cun salto finito. A suma dos saltos non pode ser maior que a diferenza dos valores da función nos extremos do intervalo, polo que o conxunto de descontinuidades cun salto superior a 1/n é finito e, polo tanto, o conxunto de descontinuidades é como moito numerábel. As mesmas propiedades serán certas para unha función monótona en segmentos, é dicir, unha que é monótona nun número finito de intervalos que xuntos dan o intervalo orixinal.

Exemplos

Os primos da forma 4n + 3 son (secuencia A002145 na OEIS)

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 179, 1, 191 , 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283,...

Corresponden aos seguintes valores de n: (secuencia A095278 na OEIS)

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52 , 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95,...

A forma forte do teorema de Dirichlet implica que

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots$

é unha serie diverxente.

Podemos xerar algunhas formas de primos mediante un método iterativo. Por exemplo, podemos xerar números primos da forma $4n+3$ usando o seguinte método:

Sexa $a_{0}=4(1)+3=7$. Entón sexa $a_{1}=4a_{0}+3=4(7)+3=31$ que é primo. Continuamos calculando $4(7)(31)+3=871=13(67)$. Como $4(7)(31)+3$ é da forma $4n+3$, 13 ou 67 é da forma $4n+3$. Temos que $67=4(16)+3$ e é primo, polo que $a_{3}=67$. Despois continuamos este proceso para atopar números primos sucesivos da forma $4n+3$ (Silverman 2013).

Enunciado

Sexa $a_{1},\,b\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mdc} (a_{1},\;b)=1$ entón a progresión aritmética $a_{n}=a_{1}+b\cdot (n-1)$ contén infinitos números primos. (segundo Dirichlet)

Demostración

A demostración do teorema utiliza as propiedades de certas funcións multiplicativas (coñecidas como funcións L de Dirichlet) e varios resultados sobre a aritmética de números complexos e é o suficientemente complexa como para que algúns textos de teoría de números clásica decidan excluíla do seu repertorio de demostracións. Para evitar unha lectura demasiado densa, este artigo excluíu da demostración algúns corolarios intermedios que aparecen marcados como [AD]. A proba completa, xunto cos corolarios aquí excluídos, pódense atopar no artigo de González de la Hoz.

Sexa $G$ un grupo finito conmutativo de orde $h$ e elemento unitario $e$.

Un carácter sobre $G$ é unha función $\chi \in \mathbb {C} \;/\;\chi \neq 0,\;\chi (u\cdot v)=\chi (u)\cdot \chi (v)\;\forall u,v\in G$. Un carácter sobre $G$ ten unha serie de propiedades importantes para a nosa demostración:

1. Dado que tanto a inversa dun carácter sobre $G$ como o produto dos caracteres sobre $G$ é tamén un carácter sobre $G$, o conxunto de caracteres sobre $G$ forma un grupo conmutativo coa multiplicación.

   Isto permite definir o carácter principal do grupo $G$ que se define como a función $\chi _{0}\;/\;\chi _{0}(u)=1\;\forall u\in G$. O carácter principal é por tanto o elemento unidade do grupo definido polo conxunto de caracteres sobre $G$.

2. Como $\chi (e)=1$ e dado que a orde dun elemento divide a orde do grupo, entón$\forall u\in G\;(\chi (u))^{h}=\chi (u^{h})=\chi (e)=1$, o que implica que $\mid \chi (u)\mid =1$.

   Dado que o número de raíces do elemento unitario de orde $h$ é como máximo $h$, o número de caracteres $c$ é finito, sendo o valor $h^{h}$ un límite superior de $c$.

   Por outra parte $\forall u\in G,\;u\neq e$ existe um carácter $\chi \;/\;\chi (u)\neq 1$ ([AD]). Por el, e se representa mediante $\sum _{G}a_{\chi }\,$ a suma do valor $a_{\chi }$ asociado a cada un dos diferentes caracteres do grupo $G$, se ten estas propiedades adicionais ([AD]):

3. $\forall u\in G{\mbox{ tense que: }}$ $\sum _{G}\chi (u)={\begin{cases}c&se\;u=e\\0&se\;u\neq e\end{cases}}$$\quad {\mbox{ onde }}c=\sum _{G}1$
4. $\forall u\in G{\mbox{ se tem que: }}$ $\sum _{u\in G}\chi (u)={\begin{cases}h&{\text{ se }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ se }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$$\quad {\mbox{ onde }}h{\mbox{ é a orde de }}G{\mbox{ sendo }}c=h$
5. $\forall u,v\in G{\mbox{ determina que: }}$ ${\frac {1}{h}}\sum _{\chi }{\frac {\chi (u)}{\chi (v)}}={\begin{cases}1&{\text{ se }}\;u=v\\0&{\text{ se }}\;u\neq v\end{cases}}$
6. $\forall \chi _{1},\chi _{2}\in G{\mbox{ determina que: }}$ ${\frac {1}{h}}\sum _{u\in G}{\frac {\chi _{1}(u)}{\chi _{2}(u)}}={\begin{cases}1&{\text{ se }}\;\chi _{1}=\chi _{2}\\0&{\text{ se }}\;\chi _{1}\neq \chi _{2}\end{cases}}$

   Dado un $q\in \mathbb {N}$, defínense os caracteres $\chi$ do grupo $G=Z_{q}^{*}$ definido como as clases de congruencia módulo $q$ de números coprimos con $q$.

   O grupo $G$ ten $\phi (q)$ elementos, e podémolos representar por $G=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{\phi (q)}\rbrace$ onde os diferentes $a_{i}$ son os representantes da clase de congruencia que obedecen a condición $0<a_{j}<q$, e neste contexto se definen as funcións estendidas dos caracteres $\chi$ de $G$ da seguinte maneira:

   $\chi (n)={\begin{cases}\chi (a_{i})&\mathrm {se} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {se} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}$

   Estas funcións denomínanse caracteres de Dirichlet módulo q e son completamente multiplicativas. Existen $\phi (q)$ funcións deste tipo e unha delas: $\chi _{0}(n)={\begin{cases}1&\mathrm {se} \;n\equiv a_{i}{\pmod {q}}\\0&\mathrm {se} \;\operatorname {mcd} (n,q)>1\end{cases}}$ denomínase carácter principal de Dirichlet.

   Estes caracteres teñen algunhas propiedades significativas (derivadas das propiedades dos caracteres dun grupo que vimos antes):

7. $\sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}\chi (n)={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {se} \;\chi =\chi _{0}\\0&\mathrm {se} \;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$
8. $\sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}\chi (u)={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {se} \;u\equiv 1{\pmod {q}}\\0&\mathrm {se} \;u\not \equiv 1{\pmod {q}}\end{cases}}$
9. $\forall a\in \mathbb {N} \;/\;\operatorname {mcd} (a,\;q)=1{\mbox{ tense que: }}$ $\sum _{n(\mathrm {\;mod\;} q)}{\frac {\chi (u)}{\chi (a)}}={\begin{cases}\phi (q)&\mathrm {se} \;u=a\\0&\mathrm {se} \;u\neq a\end{cases}}$

Neste punto hai que introducir a seguinte definición:

Unha función L de Dirichlet é unha función da forma

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$ onde $s\in \mathbb {C}$ e $\chi$ é un carácter de Dirichlet.

Os valores de $\chi$ son periódicos, o que implica que a serie $L(s,\,\chi )$ converxe absolutamente a $\Re (s)>1$ e uniformemente a $\Re (s)>1+\varepsilon ,\quad \forall \varepsilon >0.$ Alén diso, como os coeficientes son completamente multiplicativos, a serie admite a seguinte expresión: $L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$. Cando $\Re (s)>1$ a función L de Dirichlet ten as seguintes propiedades ( [AD]):

1. $L(s,\chi )\neq 0$
2. $L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$
3. ${\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}}$
4. $\ln(L(s,\chi ))=\sum _{p}{\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m}}{\frac {(\chi (p))^{m}}{p^{m\cdot s}}}}$

Da igualdade $L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\cdot \prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$ e as propiedades da función $\zeta$ pódese deducir que a función $L(s,\chi _{0})$ é analítica no semiplano complexo $\Re (s)>0$ coa excepción dun polo en $s=1$, cuxo residuo é $\prod _{p\mid q}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {\phi (q)}{q}}$. Como consecuencia diso, podemos dicir que $L(s,\chi _{0})=f(s)+{\frac {\phi (q)/q}{s-1}}$, onde $f$ é analítica e non ten singularidades en $\Re (s)>0$, de modo que a función expresada por ${\frac {L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}}={\frac {f^{\prime }(s)-{\frac {\phi (q)/q}{(s-1)^{2}}}}{f(s)+{\frac {\phi (q)/q}{s-1}}}}={\frac {(s-1)^{2}f^{\prime }(s)-\phi (q)/q}{(s-1)f(s)-\phi (q)/q}}{\frac {1}{s-1}}$ tamén ten un polo en $s=1$ con residuo $-1$. Por outra banda, toda funcións L de Dirichlet $L(s,\chi )$ con $\chi \neq \chi _{0}$ é analítica e non presenta singularidades na zona $\Re (s)>0$ ([AD]). E para $k>0$ temos ([AD]) que

$\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=\sum _{n=a{\pmod {q}}}{\frac {\Lambda (n)}{n^{k}}}-O(1)$

que tamén se pode expresar como:

$\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}={\frac {-1}{\phi (q)}}\cdot {\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}-{\frac {1}{\phi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}-O(1)$

Esta expresión é chave para demostrar o teorema de Dirichlet, xa que podemos concluír que o teorema é correcto se o primeiro termo do segundo membro diverxe cando os termos restantes permanecen dentro de certos límites. Como se cumpre que $L(1,\chi )\neq 0$ cando $\chi \neq \chi _{0}$ a seguinte expresión:

$\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {1}{\phi (q)\chi (a)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi )}{L(k,\chi )}}={\frac {1}{\phi (q)\chi (1)}}\sum _{\chi {\pmod {q}} \atop \chi \neq \chi _{0}}{\frac {L^{\prime }(1,\chi )}{L(1,\chi )}}=O(2)$

obtén un valor finito e, como vimos, dado que ${\frac {1}{\chi _{0}(a)}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}={\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}$ ten un polo en $s=1$ con residuo $-1$ resulta que $\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}=-\infty$ o que implica que:

$\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p}}=$$\lim _{k\rightarrow 1^{+}}\sum _{p=a{\pmod {q}}}{\frac {\ln(p)}{p^{k}}}=$${\frac {-1}{\phi (q)}}\left(\lim _{k\rightarrow 1^{+}}{\frac {L^{\prime }(k,\chi _{0})}{L(k,\chi _{0})}}+O(2)\right)+O(1)=$$\infty$

o que proba o teorema.

Proba simple para 4n+3

Queremos demostrar que hai infinitos números primos da forma $4n+3$. Supoña, por contradición, que só hai un número finito de primos da forma $4n+3$.

Despois xuntamos unha lista de todos os devanditos números primos $3,p_{1},p_{2},...,p_{m}$ onde $p_{1}<p_{2}<...<p_{m}$.

Sexa $N=4p_{1}p_{2}...p_{m}+3$. Está claro que ningún dos primos da lista $3,p_{1},p_{2},...,p_{m}$ divide $N$.

A continuación, supoña que $N$ é composto. Entón $N$ ten factorización prima única $N=a_{1}a_{2}...a_{r}$ onde cada $a_{i}$ é primo.

Como $N\equiv 3{\bmod {4}}$, $N$ é impar e só debe ser o produto de números primos impares. Calquera p primo impar debe ser tal que $p\equiv 1{\bmod {4}}$ ou $p\equiv 3{\bmod {4}}$.

Non pode ser que $a_{i}\equiv 1{\bmod {4}}$ $\forall a_{i}$ porque se este fose o caso, entón $N\equiv 1{\bmod {4}}$. Así que existe un primo $a_{i}\equiv 3{\bmod {4}}$ tal que $a_{i}\mid N$.

No entanto, ningún dos primos da lista $3,p_{1},p_{2},...,p_{m}$ dividie $N$, unha contradición. Polo tanto $N$ debe ser primo e $N>p_{m}$. Polo tanto, $N$ é un primo da forma $4n+3$, pero non está incluído na lista $3,p_{1},p_{2},...,p_{m}$.

Así, a lista non contén todos os números primos deste tipo e debe haber infinitos números primos da forma $4n+3$ (Silverman 2013).

Xeneralizacións

A Conxectura de Bunyakovsky xeneraliza o teorema de Dirichlet a polinomios de grao superior. Se os polinomios cadráticos simples como x² + 1 (coñecidos polo cuarto problema de Landau) conseguen infinitos valores primos é un problema sen resolver importante.

A conxectura de Dickson xeneraliza o teorema de Dirichlet a máis dun polinomio.

A hipótese H de Schinzel xeneraliza estas dúas conxecturas, é dicir, xeneraliza a máis dun polinomio cun grao maior que un.

Na teoría alxébrica de números, o teorema de Dirichlet xeneralízase ao teorema da densidade de Chebotarev.

O Teorema de Linnik (1944) refírese ao tamaño do primo máis pequeno nunha progresión aritmética dada. Linnik demostrou que a progresión a + nd (como n varía a través dos enteiros positivos) contén como máximo un primo de magnitude cd^L para constantes absolutas c e L. Os investigadores posteriores reduciron a L a 5.

Un análogo do teorema de Dirichlet cúmprese no marco dos sistemas dinámicos (T. Sunada e A. Katsuda, 1990).

Shiu demostrou que calquera progresión aritmética que satisfaga a hipótese do teorema de Dirichlet conterá, de feito, tiradas arbitrariamente longas de números primos consecutivos.

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. MR 0434929. Zbl 0335.10001. 
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet's Theorem". MathWorld. 
• Chris Caldwell, "Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions" nas Prime Pages.
• Dirichlet, P. G. L. (1837). Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält [Proof of the theorem that every unbounded arithmetic progression, whose first term and common difference are integers without common factors, contains infinitely many prime numbers]. Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 48. pp. 45–71. 
• {Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic number theory. Translated from the 1992 German original and with a note by Norbert Schappacher. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65399-6. MR 1697859. Zbl 0956.11021. .
• {Selberg, Atle (1949). An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression. Annals of Mathematics 50. pp. 297–304. JSTOR 1969454. Zbl 0036.30603. doi:10.2307/1969454. .
• {Serre, Jean-Pierre (1973). A course in arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. New York; Heidelberg; Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-90040-3. Zbl 0256.12001. .
• {Sunada, Toshikazu; Katsuda, Atsushi (1990). Closed orbits in homology classes. Publ. Math. IHÉS 71. pp. 5–32. doi:10.1007/BF02699875. .
• Silverman JH (2013) A Friendly Introduction to Number Theory: Pearson New International Edition, Pearson Education.

Outros artigos

• Teorema de Bombieri-Vinogradov
• Teorema de Brun-Titchmarsh
• Teorema de Siegel-Walfisz
• Teorema de Green-Tao

Ligazóns externas

• documento orixinal escaneado
• Dirichlet: There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime
• Dirichlet's Theorem por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.