Polinomios de Bernoulli

En matemáticas os polinomios de Bernoulli $B_{n}(x)$ son definidos mediante unha función xeradora exponencial, tal como se expón a continuación:

Polinomios de Bernoulli

${\frac {et^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$.

Aparecen no estudo de moitas funcións especiais, en particular da función zeta de Riemann e da función zeta de Hurwitz. Os números de Bernoulli $b_{n}$ (normalmente expresados como $B_{n}$ e escritos aquí con minúscula para distinguilos dos polinomios) son os termos independentes dos polinomios correspondentes, $b_{n}=B_{n}(0)$.

A identidade $B_{k+1}(x+1)-B_{k+1}(x)=(k+1)x^{k}\,$ expón unha forma pechada da suma dos n primeiros números enteiros positivos elevados a unha potencia k,

$\sum _{i=1}^{n}{i^{k}}=1^{k}+2^{k}+\cdots +n^{k}={\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(0)}{k+1}}$.

Un conxunto similar de polinomios, baseado nunha función xeradora, é a familia de polinomios de Euler. Neste artigo mencionaremos propiedades e fórmulas para ambas as dúas familias.

Representacións

Funcións xeradoras exponenciais

A funcións xeradora para os polinomios de Bernoulli é

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

E para os polinomios de Euler é

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

Fórmula explícita

Para os polinomios de Bernoulli $B_{n}(x)$ e mais Euler $E_{n}(x)$ respectivamente, temos,

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},$

$E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\tfrac {1}{2}}\right)^{m-k}.$

para $n\geq 0$, onde os $B_{k}$ son os números de Bernoulli, e os $E_{k}$ son os números de Euler.

Dedúcese logo que

$B_{n}(0)=B_{n}$ (numeradores (secuencia A027641 na OEIS) e denominadores (secuencia A027642 na OEIS))

e

$E_{m}{\big (}{\tfrac {1}{2}}{\big )}={\tfrac {1}{2^{m}}}E_{m}$ ((secuencia A122045 na OEIS), tendo en conta que hai quen usa outro criterio usando só os números de índice par, ver números de Euler).

Expresión de polinomios de menor grao

Os primeiros polinomios de Bernoulli son:

$B_{0}(x)=1\,$

$B_{1}(x)=x-1/2\,$

$B_{2}(x)=x^{2}-x+1/6\,$

$B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\,$

$B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\,$

$B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\,$

$B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}\,$.

Os primeiros polinomios de Euler son:

${\begin{aligned}E_{0}(x)&=1,&E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x,\\[4mu]E_{1}(x)&=x-{\tfrac {1}{2}},&E_{5}(x)&=x^{5}-{\tfrac {5}{2}}x^{4}+{\tfrac {5}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{2}},\\[4mu]E_{2}(x)&=x^{2}-x,&E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x,\\[-1mu]E_{3}(x)&=x^{3}-{\tfrac {3}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{4}},\qquad \ \ &&\ \,\,\vdots \end{aligned}}$

Propiedades dos polinomios de Bernoulli

Diferenzas

Os polinomios de Bernoulli e Euler obedecen a moitas relacións do cálculo sombra usado por Édouard Lucas, por exemplo.

$B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}\,$

$E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}\,$

Derivadas

$B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)\,$

$E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x)\,$

Translacións

$B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}$

$E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}$

Simetrías

$B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)$

$E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)$

$(-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}$

$(-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}$

Outras propiedades

$\forall n\in \mathbb {N} ,B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)$

$\forall p\in \mathbb {N} ,\forall n\in \mathbb {N} ,\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}$

Esta última igualdade, deducida da fórmula de Faulhaber, provén da igualdade: $\int _{x}^{x+1}B_{n}(t)\,\mathrm {d} t=x^{n}$ ou, máis sinxelamente, a serie telescópica

$\sum _{k=0}^{n}\left(B_{m}(k+1)-B_{m}(k)\right)=B_{m}(n+1)-B_{m}(0)$.

Serie de Fourier

A serie de Fourier dos polinomios de Bernoulli tamén é unha serie de Dirichlet, dada polo desenvolvemento :

$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi \mathrm {i} )^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} \atop k\neq 0}{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}}{k^{n}}}=-n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}+(-1)^{n}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}}{(2\pi \mathrm {i} k)^{n}}}=-2\,n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}$,

válido só para $0\leq x\leq 1$ cando $n\geq 2$ e para $0<x<1$ cando $n=1$.

Este é un caso especial da fórmula de Hurwitz.

Integrais e relacións coa función zeta de Riemann

Dúas integrais definidas que relacionan os polinomios de Bernoulli e Euler cos números de Bernoulli e Euler son:

• $\int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\,n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1$
• $\int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\,n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}$

Outra integral dános

• $\int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}$

e casos particulares sen a variábel $y$ onde aparecen a función zeta de Riemann

• $\int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)$
• $\int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)$
• $\int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\tan {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0$
• $\int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\cot \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Zwillinger, D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 2003. ISBN 1584882913.
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Ver capítulo 23)
• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. MR 0434929. Zbl 0335.10001.  (Ver capítulo 12.11)

• Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1995). "New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments". Proceedings of the American Mathematical Society 123 (5): 1527–1535. JSTOR 2161144. doi:10.1090/S0002-9939-1995-1283544-0. 
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0.  (Reviews relationship to the Hurwitz zeta function and Lerch transcendent.)
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. ISBN 978-0-521-84903-6. 

Outros artigos

• Número de Bernoulli

Ligazóns externas

• Polinomios de Bernoulli no sitio Mathworld (en inglés)