Método numérico

Na análise numérica, un método numérico é unha ferramenta matemática deseñada para resolver problemas numéricos. A implementación dun método numérico cunha comprobación de converxencia adecuada nunha linguaxe de programación chámase algoritmo numérico.

Os métodos numéricos son técnicas para aproximar procesos matemáticos como por exemplo integrais, ecuacións diferenciais, ecuacións non lineares.

Estes métodos son necesarios cando non hai solución analítica ou cando o método de solución coñecida é inasumíbel en tempo ou espazo.

Definición matemática

Sexa $F(x,y)=0$ un problema ben formulado, é dicir $F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$ é unha relación funcional real ou complexa, definida no produto vectorial dun conxunto de datos de entrada $X$ e un conxunto de datos de saída $Y$, tal que existe unha función localmente lipschitziana $g:X\rightarrow Y$ chamada resolvente, que ten a propiedade que para cada raíz $(x,y)$ de $F$, $y=g(x)$. Definimos como método numérico para a aproximación de $F(x,y)=0$, a secuencia de problemas

$\left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },$

con $F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R}$, $x_{n}\in X_{n}$ e $y_{n}\in Y_{n}$ para todo $n\in \mathbb {N}$. Os problemas dos que consiste o método non teñen por qué estar ben formulados. Se o son, dise que o método é estábel ou ben formulado

Consistencia

As condicións necesarias para que un método numérico se aproxime eficazmente a $F(x,y)=0$ son que $x_{n}\rightarrow x$ e que $F_{n}$ se comporte como $F$ cando $n\rightarrow \infty$. Así, un método numérico chámase consistente se e só se a secuencia de funcións $\left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ converxe puntualmente a $F$ no conxunto $S$ das súas solucións:

$\lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.$

Cando $F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N}$ en $S$ dise que o método é estritamente consistente.

Converxencia

Denotamos por $\ell _{n}$ unha secuencia de perturbacións admisíbeis de $x\in X$ para algún método numérico $M$ (isto é, $x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N}$) e con $y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}$ o valor tal que $F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0$. Unha condición que o método ten que satisfacer para ser unha ferramenta significativa para resolver o problema $F(x,y)=0$ é a converxencia :

${\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ tal que}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}$

Pódese probar facilmente que a converxencia por puntos de $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ cara a $y$ implica a converxencia do método asociado é unha función.

Véxase tamén

Outros artigos

• Análise numérica.

Ligazóns externas

• Introduction to Numerical Methods LibreTexts.