Hipótese do continuo

Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.

A hipótese do continuo é unha conxectura proposta por Georg Cantor. Esta conxectura consiste no seguinte:

Non existe ningún conxunto cun cardinalidade maior que a do conxunto dos números enteiros e menor que a do conxunto dos números reais.

Aquí máis elementos e menos elementos teñen un significado moi preciso (ver número cardinal). Esta hipótese foi o número un dos 23 problemas de Hilbert presentados na conferencia do Congreso Internacional de Matemáticas de 1900, o que levou a que fose estudada en profundidade durante o século XX.

Nin verdadeira nin falsa

editar

Cantor achaba que a conxectura era certa. No entanto:

  • En 1938, Kurt Gödel demostrou que a negación da hipótese do continuo non se podía probar a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel máis a escolla, se son consistentes.
  • en 1963, Paul Cohen demostrou que a hipótese do continuo tampouco non poderia ser probada a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, se son consistentes.

Polo tanto, a hipótese do continuo é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esta independencia leva a algúns matemáticos a considerar que os axiomas de Zermelo-Fraenkel xa non son suficientes para resolver problemas significativos na teoría de conxuntos e que deberían considerarse axiomas adicionais para facer verdadeira ou falsa esta hipótese. En particular, Gödel, malia de demostrar a súa coherencia, considerou a posibilidade de que novos axiomas permitisen refutar a Hipótese do Continuo.

Hipótese do continuo xeneralizada

editar

Aleph (א) é unha letra que se usa para representar infinitos cardinais. A cardinalidade do conxunto de enteiros é  , o seguinte cardinal é  , etc. Usando os números cardinais  , a hipótese do continuo pódese escribir como:

 

A xeneralización desta hipótese (que non se pode demostrar a partir dela) é que para calquera ordinal  :

 

Debemos ter unha precaución na fórmula anterior: o tratamento de α + 1 usa aritmética ordinal mentres que o tratamento de   usa aritmética cardinal; todo número ordinal é, por definición, un número cardinal, mais a inversa non é verdade.

Cardinalidade do continuo

editar

En ZFC, a teoría de conxuntos cos axiomas de Zermelo–Fraenkel máis o axioma de escolla, a cardinalidade do continuo é moi indeterminada. O primeiro resultado negativo foi demostrado por König, respecto dos valores que o continuo non pode tomar, como mostra o chamado teorema de König:

 

O mesmo sucede con outros cardonais da cofinalidade  :

 
 


Sexa   a declaración "  é consistente". Como se dixo anteriormente, Gödel demostrou:

 

Usando forzamento pódense demostrar os seguintes resultados :

 

para calquera   . De forma máis xeral, o continuo pode ser calquera cardinal regular non contábel. Por exemplo:

 
 

Se chamamos WI á afirmación "existe un cardinal debilmente inaccesíbel", entón vale:

 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar
  • KUNEN, Kenneth (1980). Elsevier, ed. Set theory: an introduction to independence proofs. Amsterdam. ISBN 0-444-86839-9. 

Outros artigos

editar
  • Ligazóns entre [[ ]].

Ligazóns externas

editar