Constante de integración

En cálculo, a constante de integración, moitas veces denotada por $C$ (ou $c$), é un termo constante engadido a unha antiderivada dunha función $f(x)$ para indicar que a integral indefinida de $f(x)$ (é dicir, o conxunto de todas as antiderivadas de $f(x)$), nun dominio conexo, só se define ata unha constante aditiva. Esta constante expresa unha ambigüidade inherente á construción de antiderivadas.

Máis concretamente, se unha función $f(x)$ está definida nun intervalo, e $F(x)$ é unha antiderivada de $f(x),$ entón o conxunto de todas as antiderivadas de $f(x)$ vén dado polas funcións $F(x)+C$, onde $C$ é unha constante arbitraria (o que significa que "calquera" valor de $C$ faría que $F(x)+C$ fose unha antiderivada válida). Por ese motivo, a integral indefinida adoita escribirse como ${\textstyle \int f(x)\,dx=F(x)+C,}$ aínda que a constante de integración pode omitirse ás veces en listas de integrais para simplificar.

Orixe

A derivada de calquera función constante é cero. Unha vez que se atopou unha antiderivada $F(x)$ para unha función $f(x),$ sumando ou restando calquera constante $C$ daranos outra antiderivada, porque ${\textstyle {\frac {d}{dx}}(F(x)+C)={\frac {d}{dx}}F(x)+{\frac {d}{dx}}C=F'(x)=f(x).}$

Visto doutor xeito: escolla un número real $a,$ e sexa $C=F(a).$ Para calquera x, o teorema fundamental do cálculo, e asumindo que a derivada de $F$ desaparece, o que implica que

$${\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}$$

demostrando así que $F$ é unha función constante.

Cálculo da constante de integración dadas unhas condicións iniciais

Como a integral indefinida supón un conxunto de solucións que se diferencian por unha constante, se temos unhas condicións iniciais podemos calcular a constante para eses valores iniciais da función. Vexamos un exemplo:

Temos a función velocidade dunha partícula dada por $v(t)=\sin(t)-cos(t)$, queremos atopar a función de posición da partícula $s(t)$ sabendo que no tempo 0 a partícula está na posición 0, isto é, $s(0)=0$.

Sabemos que a función do espazo en función da velocidade é

$v(t)={\dfrac {ds}{dt}}=\sin(t)-cos(t)$,

separamos variábeis e integramos

$ds=(\sin(t)-cos(t))dt$.

$\int ds=\int (\sin(t)-cos(t))dt$.

$s(t)=-\cos(t)-sin(t)+C$.

E agora substituímos os valores iniciais:

$0=s(0)=-\cos(0)-sin(0)+C=-1+0+C$.

$1=C$.

E por tanto:

$s(t)=-\cos(t)-sin(t)+1$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Integral.